Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(B\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(BA\) и \(BC\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(45^\circ\). Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если угол между наклонными равен \(60^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 60^\circ\), а наклонные \(BA\) и \(BC\) равны, так как \(AC = 16\) см и треугольник равносторонний, значит \(AB = BC = 16\) см.
В треугольнике \(ABH\) углы при основании равны \(45^\circ\), следовательно \(AH = BH = x\).
По теореме Пифагора для \(AHC\): \(2x^2 = 16^2 = 256\), откуда \(x^2 = 128\) и \(x = 8\sqrt{2}\).
Расстояние от точки \(B\) до плоскости равно \(BH = 8\sqrt{2}\) см.
Дано, что угол между наклонными \( \angle B = 60^\circ \), а углы наклонных с плоскостью равны \( \angle d = \angle e = 45^\circ \). Основание между точками \( A \) и \( C \) равно \( AC = 16 \) см. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Поскольку угол при вершине \( B \) равен \( 60^\circ \), а наклонные образуют с плоскостью одинаковые углы \( 45^\circ \), треугольник \( ABC \) является равносторонним, и все его стороны равны. Следовательно, \( AB = BC = AC = 16 \) см.
Далее рассмотрим точку \( H \) — проекцию точки \( B \) на плоскость \( \alpha \). В треугольнике \( ABH \) угол при \( B \) равен \( 45^\circ \), что совпадает с углом наклонной к плоскости. Это значит, что \( BH \) — искомое расстояние от точки \( B \) до плоскости, а \( AH \) — проекция \( AB \) на плоскость. Поскольку углы при \( B \) равны \( 45^\circ \), треугольник \( ABH \) — равнобедренный с \( AH = BH = x \).
Теперь рассмотрим треугольник \( AHC \), лежащий в плоскости \( \alpha \). В нем \( AC = 16 \) см — известная сторона, а \( AH = x \), \( HC = x \), так как \( H \) — основание перпендикуляра из \( B \). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( AHC \) имеем \( AC^{2} = AH^{2} + HC^{2} \), то есть \( 16^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2} \). Отсюда \( 2x^{2} = 256 \), значит \( x^{2} = 128 \), и \( x = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \).
Таким образом, расстояние от точки \( B \) до плоскости \( \alpha \) равно длине перпендикуляра \( BH \), которая составляет \( 8\sqrt{2} \) см.
