Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(A\) находится на расстоянии \(3\sqrt{3}\) см от плоскости \(\alpha\). Наклонные \(AB\) и \(AC\) образуют с плоскостью углы \(60^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно, а угол между наклонными равен \(90^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных.
Дано: \(AH = 3\sqrt{3}\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\), угол между \(AB\) и \(AC\) равен \(90^\circ\).
В треугольнике \(AHC\) по углу \(45^\circ\) имеем \(HC = AH = 3\sqrt{3}\).
Длина наклонной \(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = 3\sqrt{6}\).
В треугольнике \(AHB\) по синусу \(AB = \frac{AH}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(90^\circ\) между наклонными \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{6})^2} = 3\sqrt{10}\).
Ответ: \(BC = 3\sqrt{10}\).
Дано расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), равное \(AH = 3\sqrt{3}\), а также углы наклонных \(AB\) и \(AC\) к плоскости \(\alpha\), равные \(60^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно. Из условия известно, что угол между наклонными \(AB\) и \(AC\) равен \(90^\circ\). Задача состоит в нахождении расстояния между основаниями наклонных, то есть длины отрезка \(BC\).
Начнем с анализа треугольника, образованного точкой \(A\), ее проекцией \(H\) на плоскость \(\alpha\) и основанием наклонной \(AC\), точкой \(C\). Поскольку угол наклонной \(AC\) к плоскости равен \(45^\circ\), то в прямоугольном треугольнике \(AHC\) угол при \(H\) равен \(45^\circ\). Это значит, что катеты \(AH\) и \(HC\) равны. Следовательно, длина основания наклонной \(HC\) равна \(3\sqrt{3}\). Теперь можно найти длину наклонной \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{27 + 27} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\).
Далее рассмотрим наклонную \(AB\) и ее связь с высотой \(AH\). Из угла наклонной \(60^\circ\) к плоскости следует, что \(sin 60^\circ = \frac{AH}{AB}\). Отсюда длина наклонной \(AB = \frac{AH}{sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\). Таким образом, длина наклонной \(AB\) равна 6.
Наконец, зная длины наклонных \(AB\) и \(AC\) и угол между ними \(90^\circ\), можно найти расстояние между их основаниями \(B\) и \(C\). В треугольнике \(ABC\) с прямым углом между сторонами \(AB\) и \(AC\) по теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{36 + 54} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\).
Ответ: расстояние между основаниями наклонных равно \(3\sqrt{10}\).
