Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(MA\) и \(MB\). Наклонная \(MA\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\), а наклонная \(MB\) — угол \(30^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(MA = 6\) см, а угол между наклонными равен \(45^\circ\).
Дано: \(MA = 6\), угол наклона \(MA\) к плоскости \(45^\circ\), угол наклона \(MB\) к плоскости \(30^\circ\), угол между наклонными \(45^\circ\).
Найдем длину перпендикуляра \(MH\): \(MH = MA \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).
Найдем длину наклонной \(MB\): \(MB = \frac{MH}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}\).
По теореме косинусов для треугольника \(AMB\):
\(AB^2 = MA^2 + MB^2 — 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 45^\circ = 36 + 72 — 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\)
\(= 108 — 72 = 36\).
Расстояние между основаниями наклонных \(AB = \sqrt{36} = 6\).
Точка \(M\) расположена вне плоскости \(\alpha\), и из неё проведены две наклонные \(MA\) и \(MB\), опирающиеся в точках \(A\) и \(B\) на плоскость. Заданы углы наклона наклонных к плоскости: для \(MA\) угол равен \(45^\circ\), для \(MB\) — \(30^\circ\). Известна длина наклонной \(MA = 6\) см, а угол между наклонными \(MA\) и \(MB\) равен \(45^\circ\). Необходимо найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка \(AB\).
Для решения сначала найдём длину перпендикуляра \(MH\) из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\). В треугольнике \(MHA\), где \(H\) — проекция \(M\) на плоскость, угол при \(H\) равен \(90^\circ\), а угол наклона наклонной \(MA\) к плоскости равен \(45^\circ\). По определению синуса угла наклона: \( \sin 45^\circ = \frac{MH}{MA} \). Подставляя известные значения, получаем \( MH = MA \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см. Таким образом, длина перпендикуляра \(MH\) равна \(3\sqrt{2}\) см.
Теперь найдём длину наклонной \(MB\), используя тот же перпендикуляр \(MH\) и угол наклона \(30^\circ\). Для наклонной \(MB\) справедливо равенство \( \sin 30^\circ = \frac{MH}{MB} \), откуда \( MB = \frac{MH}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2} \) см. Таким образом, длина наклонной \(MB\) равна \(6\sqrt{2}\) см. Теперь у нас есть длины обеих наклонных и угол между ними \(45^\circ\), что позволяет применить теорему косинусов в треугольнике \(AMB\).
По теореме косинусов расстояние между основаниями наклонных \(AB\) вычисляется как \( AB^2 = MA^{2} + MB^{2} — 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 45^\circ \). Подставляем известные значения: \( AB^{2} = 6^{2} + (6\sqrt{2})^{2} — 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 + 72 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{2}{2}=\)
\( = 108 — 72 = 36 \). Следовательно, \( AB = \sqrt{36} = 6 \) см. Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 6 см.
