Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата \(ABCD\), угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(M\) до стороны квадрата.
Дано: квадрат \(ABCD\) со стороной 12, точка \(M\) на расстоянии 12 от всех вершин, угол между \(MA\) и плоскостью квадрата 60°.
Вычисляем высоту \(MO = MA \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).
Проекция \(M\) на плоскость квадрата — центр \(O\). Расстояние \(OE\) от центра квадрата до стороны равно \( \frac{12}{2} \sqrt{2} = 6\sqrt{2}/2 = 3\sqrt{2}\).
Расстояние от \(M\) до стороны \(ME = \sqrt{MO^2 + OE^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\).
Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со стороной 12. Точка \(M\) находится так, что расстояния от неё до всех вершин квадрата равны 12, то есть \(MA = MB = MC = MD = 12\). При этом угол между отрезком \(MA\) и плоскостью квадрата равен 60 градусов. Для начала определим высоту точки \(M\) над плоскостью квадрата. Так как угол между \(MA\) и плоскостью равен 60°, высота \(MO\) (где \(O\) — центр квадрата) вычисляется по формуле \(MO = MA \sin 60^\circ\). Подставляя значения, получаем \(MO = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).
Следующий шаг — найти проекцию точки \(M\) на плоскость квадрата. По условию симметрии и равенства расстояний до всех вершин, эта проекция совпадает с центром квадрата \(O\). Теперь нужно найти расстояние от этой проекции до стороны квадрата \(BC\). Центр квадрата \(O\) — точка пересечения диагоналей, расстояние от центра до стороны равно половине длины стороны, умноженной на \(\sqrt{2}/2\), так как диагональ делится пополам. Таким образом, расстояние \(OE\) от центра \(O\) до точки \(E\) на стороне \(BC\) равно \(OE = \frac{12}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).
Теперь, чтобы найти искомое расстояние \(ME\) от точки \(M\) до стороны \(BC\), используем теорему Пифагора в треугольнике \(MOE\), где \(MO\) — высота, а \(OE\) — горизонтальная проекция. Тогда \(ME = \sqrt{MO^2 + OE^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\).
