Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) равноудалена от сторон квадрата \(ABCD\), сторона которого равна \(9\sqrt{6}\) см, и находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Найдите угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата.
Дана сторона квадрата \(AB = 9\sqrt{6}\). Диагональ квадрата равна \(AC = AB \sqrt{2} = 9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 18\sqrt{3}\).
Центр квадрата \(O\) делит диагональ пополам, значит \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\).
Расстояние от точки \(M\) до плоскости квадрата \(MO = 9\).
Тангенс угла между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата равен \(\tan \angle M A O = \frac{MO}{AO} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Значит угол \(\angle M A O = 30^\circ\).
Дано, что сторона квадрата \(AB\) равна \(9 \sqrt{6}\). Чтобы найти угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата, сначала определим длину диагонали квадрата \(AC\). Диагональ квадрата вычисляется по формуле \(AC = AB \sqrt{2}\), так как диагональ равна стороне, умноженной на корень из двух. Подставляя значение стороны, получаем \(AC = 9 \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9 \sqrt{12}\). Корень из двенадцати можно представить как \(2 \sqrt{3}\), следовательно, диагональ равна \(AC = 9 \cdot 2 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}\).
Точка \(O\) — центр квадрата и находится на середине диагонали \(AC\), значит расстояние от вершины \(A\) до центра \(O\) равно половине диагонали: \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}\). Это расстояние важно, так как оно является основанием для построения треугольника, в котором вычисляется угол между прямой и плоскостью.
Дано, что расстояние от точки \(M\) до плоскости квадрата, то есть длина перпендикуляра \(MO\), равна 9. Для нахождения угла между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата рассмотрим треугольник \(MAO\), где \(MO\) — высота, а \(AO\) — основание. Угол между прямой и плоскостью равен углу \(\angle MAO\), который можно найти через тангенс: \(\tan \angle MAO = \frac{MO}{AO} = \frac{9}{9 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Из таблицы значений тангенсов известно, что угол с таким тангенсом равен \(30^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата равен \(30^\circ\).
