Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дана точка \(D\), такая, что прямые \(DA\), \(DB\) и \(DC\) образуют с плоскостью правильного треугольника \(ABC\) углы по \(45^\circ\). Найдите расстояние от точки \(D\) до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника \(ABC\), если его сторона равна 6 см.
Дано: сторона правильного треугольника \(ABC\) равна 6 см, углы между прямыми \(DA\), \(DB\), \(DC\) и плоскостью треугольника равны 45°.
Высота треугольника \(AH = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см.
Пусть \(DO\) — проекция \(CD\) на плоскость, тогда из тангенса угла \(45^\circ\) имеем \(DO = CO = 2 \sqrt{3}\) см.
Длина \(CD = 2 \sqrt{6}\) см.
Расстояние \(DH = \sqrt{DO^2 + OH^2} = \sqrt{12 + 3} = \sqrt{15}\) см.
Правильный треугольник \(ABC\) со стороной 6 см имеет высоту \(AH\), которую можно найти по формуле для высоты правильного треугольника: \(AH = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см. Эта высота опущена из вершины \(A\) на сторону \(BC\) и является перпендикуляром к этой стороне. Высота \(AH\) важна для определения расположения проекций точек и дальнейших вычислений.
Точка \(D\) расположена так, что углы между прямыми \(DA\), \(DB\), \(DC\) и плоскостью треугольника равны 45°. Рассмотрим проекцию точки \(D\) на плоскость треугольника, обозначим эту проекцию как точку \(O\). Из условия угла 45° следует, что длина отрезка \(DO\), перпендикулярного плоскости, равна длине проекции отрезка \(CD\) на плоскость, то есть \(DO = CO\). Поскольку \(CO\) — это расстояние от точки \(C\) до точки \(O\) на плоскости, оно равно \(2 \sqrt{3}\) см.
Длина отрезка \(CD\) вычисляется через теорему Пифагора в треугольнике \(CDO\), где \(CD\) — гипотенуза, а \(DO\) и \(CO\) — катеты. Тогда \(CD = \sqrt{DO^2 + CO^2} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + (2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 12} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\) см. Для нахождения расстояния \(DH\) от точки \(D\) до стороны \(AB\) используем треугольник \(DOH\), где \(OH\) — расстояние от точки \(O\) до \(H\) на плоскости, равное 3 см. Тогда \(DH = \sqrt{DO^2 + OH^2} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}\) см.
