Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(P\), равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), находится на расстоянии \(4\sqrt{2}\) см от его плоскости. Проекция точки \(P\) на плоскость треугольника \(ABC\) принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\), если \(AC = 12\) см, \(BC = 16\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) вычисляем гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20\).
Проекция точки \(P\) на плоскость треугольника — середина \(AB\), значит \(CO = \frac{AB}{2} = 10\).
Расстояние от точки \(P\) до плоскости равно \(PO = 4 \sqrt{2}\).
Треугольник \(PCO\) равнобедренный с равными сторонами \(PO = PC\), поэтому угол при \(C\) равен \(45^\circ\).
Ответ: \(45^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) прямой, то есть \(\angle ACB = 90^\circ\). Известны катеты: \(AC = 12\) см и \(BC = 16\) см. Чтобы найти длину гипотенузы \(AB\), применяем теорему Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.
Точка \(P\) расположена так, что её проекция \(O\) на плоскость треугольника находится внутри треугольника \(ABC\). Условие равноудалённости от сторон треугольника означает, что \(O\) — центр вписанной окружности треугольника, а в прямоугольном треугольнике с катетами 12 и 16 точка \(O\) совпадает с серединой гипотенузы \(AB\). Таким образом, расстояние \(CO\) равно половине гипотенузы: \(CO = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см.
Расстояние от точки \(P\) до плоскости равно \(PO = 4 \sqrt{2}\) см, и оно перпендикулярно плоскости. Рассмотрим треугольник \(PCO\), где \(PO\) — высота, а \(CO\) — основание. По условию \(P\) равноудалена от сторон, следовательно, \(PC = PO\). Тогда треугольник \(PCO\) равнобедренный с равными сторонами \(PC = PO = 4 \sqrt{2}\). Угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\) — это угол при вершине \(C\) в треугольнике \(PCO\). Он равен углу между \(PC\) и \(CO\), который можно найти из равнобедренного треугольника с катетами \(PO\) и \(CO\), где угол при \(C\) равен \(45^\circ\).
Ответ: угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\).
