Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(PB\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\). Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\), если \(AB = BC\), \(\angle ABC = 120^\circ\), \(PA = 16\) см, а угол между прямой \(PA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(30^\circ\).
Дано: \(PB \perp \text{плоскости } ABC\), \(PA = 16\), угол между \(PA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(30^\circ\).
В треугольнике \(PBD\) по косинусу угла: \(\cos 30^\circ = \frac{BD}{PB} = \frac{BC}{PB}\).
Отсюда \(BC = 8 \sqrt{3}\).
Так как \(PB = \frac{1}{2} PA = 8\), а \(BH = \frac{1}{2} BC = 4 \sqrt{3}\).
По теореме Пифагора расстояние от \(P\) до \(AC\): \(PH = \sqrt{PB^2 + BH^2} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} = 4 \sqrt{7}\).
Ответ: \(4 \sqrt{7}\).
Точка \(P\) расположена так, что \(PB\) перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\), а угол между \(PA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(30^\circ\). Это означает, что проекция отрезка \(PA\) на плоскость \(ABC\) образует угол \(30^\circ\) с самим отрезком \(PA\). Из условия \(PA = 16\) см, поэтому длина проекции \(PD\) равна \(PA \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}\). Поскольку \(PB\) перпендикулярна плоскости, то \(PB\) — высота, и её длина равна \(PA \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\).
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\) и угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\). Это равнобедренный треугольник с углом \(120^\circ\) между равными сторонами. Из этого следует, что сторона \(AC\) является основанием, а длины \(AB\) и \(BC\) равны. Поскольку \(PB\) — высота, а \(BC = 8 \sqrt{3}\), то длина \(BH\), где \(H\) — проекция точки \(P\) на прямую \(AC\), равна половине основания \(BC\), то есть \(BH = \frac{BC}{2} = 4 \sqrt{3}\).
Для нахождения расстояния от точки \(P\) до прямой \(AC\) нужно найти длину перпендикуляра \(PH\), опущенного из точки \(P\) на \(AC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(PBH\), где \(PB = 8\) и \(BH = 4 \sqrt{3}\). По теореме Пифагора длина \(PH\) равна \(PH = \sqrt{PB^2 + BH^2} = \sqrt{8^2 + (4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} = 4 \sqrt{7}\). Таким образом, искомое расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\) равно \(4 \sqrt{7}\) сантиметров.
