Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан треугольник \(ABC\), такой, что \(AC = BC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AB = 10\) см. Отрезок \(MC\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\). Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(5\sqrt{3}\) см. Найдите угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\).
В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) и равными катетами \(AC = BC = x\) по теореме Пифагора: \(2x^2 = 10^2\), откуда \(x = 5\sqrt{2}\).
Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(5\sqrt{3}\), а \(MC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит \(MC = 5\).
В треугольнике \(MCH\) по Пифагору: \(CH = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 — 5^2} = 5\sqrt{2}\).
Длина \(AM = \sqrt{AC^2 + MC^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = 5\sqrt{3}\).
Угол между \(AM\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(AM\) и её проекцией \(AC\), тогда \(\cos \angle = \frac{AC}{AM} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).
Следовательно, \(\angle = 45^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) известно, что угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), а стороны \(AC\) и \(BC\) равны. Обозначим длину этих сторон через \(x\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть \(AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}\). Подставляя известные значения, получаем \(x^{2} + x^{2} = 10^{2}\), что упрощается до \(2x^{2} = 100\). Отсюда следует, что \(x^{2} = 50\), а значит \(x = 5\sqrt{2}\). Таким образом, стороны \(AC\) и \(BC\) равны \(5\sqrt{2}\) сантиметров.
Точка \(M\) расположена так, что отрезок \(MC\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), а расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(5\sqrt{3}\). Пусть \(H\) — точка проекции \(M\) на прямую \(AB\). Тогда по определению расстояния от точки до прямой \(MH = 5\sqrt{3}\). Поскольку \(MC\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), он также перпендикулярен прямой \(CH\), лежащей в плоскости \(ABC\). В треугольнике \(MCH\) углы при \(C\) и \(M\) прямые, поэтому по теореме Пифагора \(MH^{2} = MC^{2} + CH^{2}\). Из условия \(MC = 5\), значит \(CH = \sqrt{(5\sqrt{3})^{2} — 5^{2}} = \sqrt{75 — 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).
Далее необходимо найти длину отрезка \(AM\). Рассмотрим треугольник \(AMC\). В нем \(MC\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), поэтому \(MC \perp AC\). По теореме Пифагора длина \(AM\) равна \(AM = \sqrt{AC^{2} + MC^{2}} = \sqrt{(5\sqrt{2})^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\). Угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(AM\) и её проекцией на плоскость, то есть отрезком \(AC\). Косинус этого угла равен отношению длины проекции к длине отрезка, то есть \(\cos \alpha = \frac{AC}{AM} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).
Наконец, вычисляем угол \(\alpha\), для которого \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Это угол \(45^\circ\), поскольку \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\), а \(\frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.816\), что близко к значению косинуса угла около \(35^\circ\). Однако, более точно, угол определяется как \(\alpha = \arccos \frac{\sqrt{6}}{3}\), что приблизительно равно \(35^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\) равен примерно \(35^\circ\).
