Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(DA\) — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника \(ABC\), \(AD = AB\), точка \(E\) — середина стороны \(BC\). Найдите угол между:
1) прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\);
2) прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\).
Дано: \(DA \perp\) плоскости \(ABC\), \(AD = AB\), \(E\) — середина \(BC\).
Угол между \(AB\) и плоскостью \(ADE\) равен углу между \(AB\) и \(AE\), так как \(AE \subset ADE\). В правильном треугольнике \(ABC\) угол \(BAE = 30^\circ\), так как \(E\) — середина \(BC\).
Угол между \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен углу между \(AC\) и \(AB\), так как \(AB \subset ABD\). В правильном треугольнике \(ABC\) угол \(ACB = 60^\circ\).
Ответ: 1) \(30^\circ\), 2) \(60^\circ\).
Треугольник \(ABC\) — правильный, значит все его стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\). Точка \(E\) — середина стороны \(BC\), поэтому отрезок \(BE\) равен половине \(BC\), то есть \(BE = \frac{1}{2} BC\). Рассмотрим угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\). Плоскость \(ADE\) содержит точку \(A\), прямую \(AD\), перпендикулярную плоскости \(ABC\), и точку \(E\). Чтобы найти угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\), достаточно найти угол между прямой \(AB\) и её проекцией на эту плоскость. Проекция прямой \(AB\) на плоскость \(ADE\) — это отрезок \(AE\), так как \(E\) лежит в плоскости \(ADE\).
Угол между \(AB\) и \(AE\) в треугольнике \(ABE\) равен \(30^\circ\). Это связано с тем, что в правильном треугольнике \(ABC\) точка \(E\) — середина стороны \(BC\), а угол \(BAC\) равен \(60^\circ\). Отрезок \(AE\) делит угол \(BAC\) пополам, поэтому угол \(BAE = 30^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\) равен \(30^\circ\).
Для второго угла нужно найти угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\). Плоскость \(ABD\) содержит прямые \(AB\) и \(AD\), где \(AD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и равна по длине стороне \(AB\). Угол между \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен углу между \(AC\) и её проекцией на эту плоскость. Проекция \(AC\) на плоскость \(ABD\) — это прямая \(AB\), так как \(AB\) лежит в плоскости \(ABD\). В правильном треугольнике \(ABC\) угол между \(AC\) и \(AB\) равен \(60^\circ\), так как все углы равны \(60^\circ\). Следовательно, угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен \(60^\circ\).
Ответ: 1) \(30^\circ\), 2) \(60^\circ\).
