Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости данного квадрата \(ABCD\), причём \(MB = AB\). Найдите угол между:
1) прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\);
2) прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\).
Дано: квадрат \(ABCD\), \(MB \perp ABCD\), \(MB = AB\).
Угол между \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AB\) и диагональю \(BD\), так как \(BD\) лежит в плоскости \(BMD\) и проекция \(AB\) на эту плоскость совпадает с \(BD\). Значит, \(\angle (AB, BMD) = 45^\circ\).
Угол между \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AM\) и её проекцией на плоскость \(BMD\), которая совпадает с \(AB\). Так как \(MB = AB\), треугольник \(AMB\) — равнобедренный прямоугольный с углом при \(A\) равным \(30^\circ\). Значит, \(\angle (AM, BMD) = 30^\circ\).
Ответ: \(45^\circ\) и \(30^\circ\).
Квадрат \(ABCD\) лежит в плоскости, и точка \(M\) расположена так, что отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости квадрата и равен стороне \(AB\). Это значит, что \(M\) находится на высоте, равной стороне квадрата, прямо над точкой \(B\). Плоскость \(BMD\) образована точками \(B\), \(M\) и \(D\), где \(B\) и \(D\) лежат в плоскости квадрата, а \(M\) — над ней. Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AB\) и её проекцией на эту плоскость. Проекция \(AB\) на плоскость \(BMD\) совпадает с диагональю \(BD\) квадрата, так как \(M\) находится над \(B\), а \(D\) лежит в плоскости квадрата. Диагональ квадрата образует с его стороной угол \(45^\circ\), следовательно, угол между \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен \(45^\circ\).
Чтобы найти угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\), рассмотрим треугольник \(AMB\). Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости квадрата, а \(M\) — над точкой \(B\) на высоте, равной стороне квадрата. Отрезок \(AM\) соединяет точку \(A\) в плоскости и точку \(M\) над ней. Проекция \(AM\) на плоскость \(BMD\) — это отрезок \(AB\), так как \(M\) проецируется на \(B\). Таким образом, угол между \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AM\) и \(AB\). В треугольнике \(AMB\) известно, что \(MB = AB\) и \(AB\) — сторона квадрата, значит треугольник прямоугольный и равнобедренный со сторонами \(AB\), \(MB\) и гипотенузой \(AM\). Угол при вершине \(A\) равен \(30^\circ\), поэтому угол между \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен \(30^\circ\).
Итоговый ответ: угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен \(45^\circ\), а угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен \(30^\circ\).
