ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены две равные наклонные, угол между которыми равен \(60^\circ\). Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(90^\circ\). Найдите угол между данными наклонными и плоскостью \(\alpha\).

Даны две равные наклонные с углом между ними 60° и угол между их проекциями на плоскость 90°. Обозначим угол между наклонными и плоскостью как \(\theta\).

Угол между наклонными выражается формулой: \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos 90^\circ\).

Так как \(\cos 90^\circ = 0\), получаем \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta\).

Из этого следует \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\), значит \(\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Значит, угол \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Две равные наклонные \(AB\) и \(AC\) исходят из точки \(A\) и падают на плоскость \(\alpha\). Между ними угол \(60^\circ\), а между их проекциями на плоскость \(\alpha\) угол \(90^\circ\). Обозначим угол между каждой наклонной и плоскостью как \(\theta\). Наклонные имеют одинаковую длину, обозначим её \(l\). Проекции этих наклонных на плоскость имеют длину \(l \cos \theta\).

Для нахождения угла \(\theta\) используем геометрические свойства векторов. Угол между наклонными равен углу между векторами \(AB\) и \(AC\). Этот угол можно выразить через углы между проекциями и углы между вертикальными компонентами. Проекции наклонных на плоскость образуют угол \(90^\circ\), значит, косинус угла между проекциями равен \(\cos 90^\circ = 0\). Вертикальные компоненты наклонных равны \(l \sin \theta\), так как наклонные образуют с плоскостью угол \(\theta\).

Используем формулу для косинуса угла между наклонными: \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos 90^\circ\). Подставляя \(\cos 90^\circ = 0\), получаем \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta\). Поскольку \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), то \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\), откуда \(\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Значит, угол между наклонными и плоскостью равен \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).