ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки \(B\) к плоскости \(\beta\) проведены две равные наклонные, угол между которыми прямой. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\beta\) равен \(120^\circ\). Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью \(\beta\).

Из условия \(AB = BC = 1\), угол между наклонными \(90^\circ\), угол между проекциями на плоскость \(\beta\) равен \(120^\circ\).

Пусть \(AH = HC = x\) — проекции наклонных на плоскость, тогда по теореме косинусов для треугольника \(AHC\):

\(AC^2 = AH^2 + HC^2 — 2 \cdot AH \cdot HC \cdot \cos 120^\circ = 2x^2 — 2x^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3x^2\).

Из условия \(AC = \sqrt{2}\), значит

\(2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3}\).

Высота \(BH\) найдется из прямоугольного треугольника \(ABH\):

\(1 = BH^2 + AH^2 \Rightarrow BH^2 = 1 — x^2 = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Косинус угла между наклонной и плоскостью равен

\(\cos \theta = \frac{BH}{AB} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

Из условия задачи известно, что наклонные \(AB\) и \(BC\) равны, то есть \(AB = BC = 1\). Угол между ними равен \(90^\circ\), а угол между их проекциями на плоскость \(\beta\) равен \(120^\circ\). Чтобы найти косинус угла между наклонными и плоскостью, сначала рассмотрим проекции точек \(A\) и \(C\) на плоскость \(\beta\), обозначим их как \(H\). Пусть \(AH = HC = x\), так как \(H\) — середина отрезка \(AC\). Тогда по теореме косинусов для треугольника \(AHC\) длина \(AC\) связана с \(x\) следующим образом: \(AC^2 = AH^2 + HC^2 — 2 \cdot AH \cdot HC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя значения, получаем \(AC^2 = x^2 + x^2 — 2 \cdot x \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2x^2 + x^2 = 3x^2\).

Далее известно, что \(AC = \sqrt{2}\), поэтому \(2 = 3x^2\), откуда \(x^2 = \frac{2}{3}\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABH\), где \(AB = 1\), \(AH = x\), а \(BH\) — высота от точки \(B\) на плоскость \(\beta\). По теореме Пифагора в этом треугольнике \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), то есть \(1 = x^2 + BH^2\). Подставляя \(x^2 = \frac{2}{3}\), получаем \(BH^2 = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\), значит \(BH = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Косинус угла между наклонной \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен отношению высоты \(BH\) к длине наклонной \(AB\), то есть \(\cos \theta = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Поскольку \(AB = 1\), результат упрощается до \(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\), что равно \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) после умножения числителя и знаменателя на \(\sqrt{2}\) для удобства представления. Таким образом, косинус угла между наклонными и плоскостью \(\beta\) равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).