Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(B\) к плоскости \(\alpha\) проведена наклонная \(BA\), образующая с этой плоскостью угол \(45^\circ\). В плоскости \(\alpha\) проведена прямая \(AC\), образующая с проекцией отрезка \(AB\) на данную плоскость угол \(30^\circ\). Найдите косинус угла \(BAC\).
Из треугольника \(ABH\) угол наклона \(45^\circ\) даёт \(BH = AB = 1\), \(AB = \sqrt{2}\).
В треугольнике \(AHE\) угол между \(AC\) и проекцией \(HE\) равен \(30^\circ\), значит \(\cos 30^\circ = \frac{HE}{AC}\), откуда \(AC = \frac{2}{\sqrt{3}}\).
Длина \(CE = AC — HE = \frac{2}{\sqrt{3}} — 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
В треугольнике \(BCE\) по теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\).
Подставляя значения: \(\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 2 + \frac{4}{3} — 2 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \angle BAC\).
Решая уравнение, получаем \(\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3} — 1}{2 \sqrt{2}}\).
Точка \(B\) соединена с плоскостью \(\alpha\) наклонной \(BA\), которая образует с плоскостью угол \(45^\circ\). Это означает, что длина проекции отрезка \(BA\) на плоскость равна \(BA \cdot \cos 45^\circ\). Если взять длину \(BA = \sqrt{2}\), то проекция \(BE = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\). Таким образом, отрезок \(BE\) лежит в плоскости \(\alpha\) и равен 1.
В плоскости \(\alpha\) проведена прямая \(AC\), которая образует с проекцией \(BE\) угол \(30^\circ\). Из этого следует, что угол между прямыми \(AC\) и \(BE\) равен \(30^\circ\), и можно записать соотношение для треугольника \(AEC\), где \(E\) — проекция точки \(A\) на плоскость. По определению косинуса угла в этом треугольнике: \(\cos 30^\circ = \frac{AE}{AC}\). Если \(AE = 1\), тогда \(AC = \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\).
Далее, длина отрезка \(CE = AC — AE = \frac{2}{\sqrt{3}} — 1 = \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Рассмотрим треугольник \(BCE\), в котором можно применить теорему косинусов: \(BC^2 = BE^2 + CE^2 + 2 \cdot BE \cdot CE \cdot \cos 0^\circ\) (поскольку \(BE\) и \(CE\) лежат на одной прямой). Суммируя, получаем \(BC = BE + CE = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(BAC\) и применим теорему косинусов для нахождения \(\cos \angle BAC\): \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\). Подставляя известные значения: \(\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 — 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos \angle BAC\). Раскрывая скобки и упрощая, получаем уравнение для \(\cos \angle BAC\), которое после преобразований даёт \(\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3} — 1}{2 \sqrt{2}}\).
