Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) — середина ребра \(CD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(CDD_1\), если \(AD = 5\) см, \(DC = 6\) см, \(DD_1 = 4\) см.
Пусть \(D = (0,0,0)\), \(C = (6,0,0)\), \(A_1 = (0,5,4)\), \(M\) — середина \(CD\), значит \(M = (3,0,0)\).
Вектор \(A_1M = (3,0,0) — (0,5,4) = (3,-5,-4)\).
Векторы плоскости \(CDD_1\): \(\overrightarrow{CD} = (-6,0,0)\), \(\overrightarrow{DD_1} = (0,0,4)\).
Нормаль к плоскости \(\mathbf{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{DD_1} = (0,24,0)\).
Косинус угла между \(A_1M\) и \(\mathbf{n}\) равен \(\frac{|(3,-5,-4) \cdot (0,24,0)|}{\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2} \cdot 24} = \frac{120}{5\sqrt{2} \cdot 24} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Угол между \(A_1M\) и нормалью к плоскости равен \(45^\circ\), значит угол между \(A_1M\) и плоскостью \(CDD_1\) равен \(90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с точками \(D = (0,0,0)\), \(C = (6,0,0)\), \(A_1 = (0,5,4)\). Точка \(M\) — середина ребра \(CD\), следовательно, координаты \(M\) равны \( \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0,0) \). Это важно, так как мы можем определить вектор, соединяющий точки \(A_1\) и \(M\), который будет направляющим вектором искомой прямой.
Вычислим вектор \( \overrightarrow{A_1M} = M — A_1 = (3,0,0) — (0,5,4) = (3, -5, -4) \). Этот вектор характеризует направление прямой \(A_1M\). Для определения угла между этой прямой и плоскостью \(CDD_1\) нам нужно найти нормаль к плоскости, так как угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ\) минус угол между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости.
Плоскость \(CDD_1\) задают точки \(C(6,0,0)\), \(D(0,0,0)\) и \(D_1(0,0,4)\). Векторы, лежащие в плоскости, это \(\overrightarrow{CD} = D — C = (-6,0,0)\) и \(\overrightarrow{DD_1} = D_1 — D = (0,0,4)\). Нормаль к плоскости находится как векторное произведение этих двух векторов: \( \mathbf{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{DD_1} = (0, 24, 0) \). Этот вектор перпендикулярен плоскости \(CDD_1\).
Для нахождения угла между вектором \( \overrightarrow{A_1M} \) и плоскостью, сначала найдём угол между \( \overrightarrow{A_1M} \) и нормалью \( \mathbf{n} \). Косинус этого угла равен \( \cos \theta = \frac{| \overrightarrow{A_1M} \cdot \mathbf{n} |}{|\overrightarrow{A_1M}| \cdot |\mathbf{n}|} \). Скалярное произведение равно \(3 \cdot 0 + (-5) \cdot 24 + (-4) \cdot 0 = -120\), модуль вектора \( \overrightarrow{A_1M} \) равен \( \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \), а модуль нормали \( \mathbf{n} \) равен \(24\). Подставляя, получаем \( \cos \theta = \frac{120}{5 \sqrt{2} \cdot 24} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), что соответствует углу \(45^\circ\).
Поскольку угол между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости равен \(45^\circ\), то угол между прямой \(A_1M\) и самой плоскостью \(CDD_1\) равен \(90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Таким образом, искомый угол равен \(45^\circ\).
