Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(K\) — середина ребра \(AD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\), если \(AD = 2\sqrt{2}\) см, \(DC = 3\) см, \(DD_1 = 1\) см.
Длина \(D_1K = \sqrt{D_1D^2 + DK^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}\).
Тангенс угла между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\) равен \( \frac{D_1K}{C_1D_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Угол равен \( \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = 30^\circ\).
Угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\).
Для начала определим длину отрезка \(D_1K\). Точка \(K\) — середина ребра \(AD\), значит \(AK = KD = \frac{AD}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Поскольку \(DD_1 = 1\), в треугольнике \(D_1DK\) стороны \(D_1D\) и \(DK\) перпендикулярны, поэтому длина \(D_1K\) вычисляется по теореме Пифагора как \(D_1K = \sqrt{D_1D^2 + DK^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\).
Далее рассмотрим угол между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\). Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекция отрезка \(C_1K\) на плоскость \(DAA_1\) — это отрезок \(KD_1\), так как \(C_1D_1\) перпендикулярен плоскости. Тогда тангенс этого угла равен отношению длины отрезка \(D_1K\) к длине \(C_1D_1\). Из условия \(C_1D_1 = DC = 3\), значит \(\tan \theta = \frac{D_1K}{C_1D_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Наконец, вычислим сам угол \(\theta\). Угол, чей тангенс равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), равен \(30^\circ\). Однако этот угол — между прямой и её проекцией на плоскость, а искомый угол между прямой и самой плоскостью равен дополнению до \(90^\circ\), то есть \(90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\) равен \(60^\circ\).
