Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MA\) и наклонная \(MB\), образующая с плоскостью \(\alpha\) угол \(\varphi\). Найдите: 1) проекцию наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\), если расстояние от точки \(M\) до этой плоскости равно \(d\); 2) наклонную \(MB\), если её проекция на плоскость \(\alpha\) равна \(a\).
Из треугольника \(MBD\) по определению тангенса угла \(\varphi\) имеем \( \tan \varphi = \frac{MA}{BD} \), откуда \( BD = \frac{d}{\tan \varphi} \).
По определению косинуса угла \(\varphi\) в том же треугольнике \( \cos \varphi = \frac{BD}{MB} \), откуда \( MB = \frac{a}{\cos \varphi} \).
Ответ:
| 1) | Проекция наклонной \(BD = \frac{d}{\tan \varphi}\) |
| 2) | Наклонная \(MB = \frac{a}{\cos \varphi}\) |
Рассмотрим треугольник \(MBD\), где \(MA\) — перпендикуляр от точки \(M\) к плоскости \(\alpha\), \(MB\) — наклонная, а \(BD\) — её проекция на плоскость. Угол между наклонной \(MB\) и плоскостью \(\alpha\) обозначен как \(\varphi\). По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла. Здесь противолежащий катет — это \(MA = d\), а прилежащий — проекция \(BD\). Следовательно, можно записать равенство \( \tan \varphi = \frac{d}{BD} \). Из этого выражения выразим \(BD\) как \( BD = \frac{d}{\tan \varphi} \). Это показывает, что длина проекции наклонной обратно пропорциональна тангенсу угла наклона.
Далее, чтобы найти длину самой наклонной \(MB\), используем определение косинуса угла \(\varphi\) между наклонной и плоскостью. Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае прилежащий катет — это проекция \(BD\), а гипотенуза — наклонная \(MB\). Значит, \( \cos \varphi = \frac{BD}{MB} \). Из этого уравнения выразим \(MB\) как \( MB = \frac{BD}{\cos \varphi} \). Если проекция \(BD\) известна и равна \(a\), то длина наклонной равна \( MB = \frac{a}{\cos \varphi} \). Это означает, что длина наклонной больше её проекции и зависит от угла наклона.
Таким образом, мы получили формулы для нахождения проекции наклонной на плоскость по длине перпендикуляра и для нахождения наклонной по длине её проекции. Формулы можно записать в виде:
| 1) | Проекция наклонной \(BD = \frac{d}{\tan \varphi}\) |
| 2) | Наклонная \(MB = \frac{a}{\cos \varphi}\) |
Эти выражения позволяют легко вычислять необходимые длины, используя известные углы и отрезки, и являются классическими в задачах стереометрии.
