Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(C_1D\) и плоскостью \(ACC_1\).
Пусть ребро куба равно 1. Координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D(0,1,0)\).
Вектор прямой \(C_1D = (-1,0,-1)\).
Векторы плоскости \(ACC_1\): \(\overrightarrow{AC} = (1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC_1} = (1,1,1)\).
Нормаль к плоскости \(\vec{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC_1} = (1,-1,0)\).
Угол между вектором и нормалью \(\alpha\) вычисляется по формуле \(\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{C_1D} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{C_1D}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{1}{2}\).
Тогда угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ — \alpha = 30^\circ\).
Ответ: \(30^\circ\).
Пусть длина ребра куба равна 1 для удобства вычислений. Тогда координаты вершин примем как \(A(0,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(C_1(1,1,1)\) и \(D(0,1,0)\). Это позволяет представить куб в трехмерной системе координат, где ось \(z\) направлена вверх, а основание лежит в плоскости \(xy\). Вектор, задающий прямую \(C_1D\), находим как разность координат: \(\overrightarrow{C_1D} = D — C_1 = (0-1, 1-1, 0-1) = (-1, 0, -1)\).
Плоскость \(ACC_1\) образована точками \(A\), \(C\) и \(C_1\). Для нахождения нормали к этой плоскости нужны два вектора, лежащие в ней. Выберем векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\), которые равны \(\overrightarrow{AC} = C — A = (1,1,0)\) и \(\overrightarrow{AC_1} = C_1 — A = (1,1,1)\). Нормаль к плоскости равна векторному произведению этих двух векторов: \(\vec{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC_1}\). Вычислим детерминант:
\(\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 — 0 \cdot 1) — \mathbf{j}(1 \cdot 1 — 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 — 1 \cdot 1) =\)
\(= (1, -1, 0)\).
Длина вектора нормали равна \(|\vec{n}| = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}\).
Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, сначала определим угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Угол \(\alpha\) между векторами \(\overrightarrow{C_1D}\) и \(\vec{n}\) вычисляется по формуле косинуса угла:
\(\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{C_1D} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{C_1D}| \cdot |\vec{n}|}\).
Скалярное произведение равно \(\overrightarrow{C_1D} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = -1\). Длина вектора \(\overrightarrow{C_1D}\) равна \(|\overrightarrow{C_1D}| = \sqrt{(-1)^{2} + 0^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}\). Подставляем значения:
\(\cos \alpha = \frac{| -1 |}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
Отсюда \(\alpha = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ\).
Так как угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ — \alpha\), то искомый угол равен \(30^\circ\).
