Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол \(60^\circ\). Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.
Угол между прямой и плоскостью равен \( \theta \), где \( \cos \theta = \sin \alpha \), а \( \alpha \) — угол между прямой и каждой из сторон прямого угла.
Если \( \alpha = 60^\circ \), то \( \cos \theta = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \theta = 30^\circ \).
Если \( \alpha = 45^\circ \), то \( \cos \theta = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( \theta = 45^\circ \).
Ответ: \( 45^\circ \).
Рассмотрим прямой угол с вершиной в точке D, образованный двумя лучами DB и DC, которые перпендикулярны друг другу. Через точку D проведена прямая DF, которая образует с каждым из этих лучей одинаковый угол \( \alpha \). В условии задачи угол \( \alpha \) равен 45 градусов. Нам нужно найти угол между прямой DF и плоскостью, в которой лежат лучи DB и DC.
Угол между прямой и плоскостью определяется как минимальный угол между данной прямой и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку лучи DB и DC перпендикулярны, угол между DF и плоскостью можно найти через углы между DF и этими лучами. Если прямая DF образует с каждым из лучей угол \( \alpha \), то угол \( \theta \) между прямой DF и плоскостью вычисляется по формуле \( \cos \theta = \sin \alpha \).
Подставим в формулу значение угла \( \alpha = 45^\circ \). Известно, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Отсюда следует, что угол \( \theta = 45^\circ \). Таким образом, угол между прямой DF и плоскостью прямого угла равен 45 градусов.
Итог: если прямая DF образует с каждой стороной прямого угла угол 45 градусов, то угол между этой прямой и плоскостью, в которой лежат стороны, равен также 45 градусов. Это связано с тем, что угол между прямой и плоскостью вычисляется через синус угла между прямой и перпендикулярными ей в плоскости лучами.
