Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через вершину угла, равного \(60^\circ\), проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол \(60^\circ\). Найдите косинус угла, который образует эта прямая с плоскостью данного угла.
Через вершину угла \(60^\circ\) проведена прямая, которая образует с каждой стороной угла угол \(60^\circ\).
Угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
Косинус этого угла равен \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Однако, поскольку прямая образует одинаковый угол \(60^\circ\) с обеими сторонами, косинус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
\(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Ответ: \( \cos (DF, \text{плоскость } BDC) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Угол между двумя сторонами угла равен \(60^\circ\). Прямая, проходящая через вершину этого угла, образует с каждой стороной угол \(60^\circ\). Это значит, что угол между прямой и каждой из лучей, образующих плоскость угла, равен \(60^\circ\). Для определения угла между прямой и плоскостью нужно найти минимальный угол между этой прямой и любой прямой, лежащей в плоскости.
Пусть угол между прямой и плоскостью равен \(\alpha\). Тогда \(\alpha\) связан с углами между прямой и сторонами угла следующим образом. Рассмотрим нормаль к плоскости, которую можно определить через векторное произведение векторов, лежащих на сторонах угла. Если угол между сторонами равен \(60^\circ\), то косинус этого угла равен \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Векторы сторон можно считать единичными для упрощения.
Для вычисления косинуса угла между прямой и плоскостью используется формула:
\(\cos \alpha = \sin \theta \cdot \sin \frac{\varphi}{2}\),
где \(\theta = 60^\circ\) — угол между прямой и каждой стороной, а \(\varphi = 60^\circ\) — угол между сторонами. Подставляя значения, получаем:
\(\cos \alpha = \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\).
Однако эта формула не учитывает, что угол между прямой и плоскостью равен дополняющему углу к углу между прямой и нормалью к плоскости. Угол между прямой и нормалью равен \(90^\circ — \alpha\), поэтому косинус угла между прямой и плоскостью равен синусу угла между прямой и нормалью.
Аналогично, если угол между прямой и каждой стороной равен \(60^\circ\), то косинус угла между прямой и плоскостью равен \( \frac{\sqrt{3}}{3} \). Это значение получается из геометрических соотношений в трёхмерном пространстве, учитывая симметрию и равенство углов между прямой и сторонами угла. Итоговый ответ:
\( \cos (DF, \text{плоскость } BDC) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
