Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Стороны треугольника равны 2 см, \(2\sqrt{7}\) см и \(4\sqrt{3}\) см. Найдите угол треугольника, противолежащий его средней стороне.
По теореме косинусов для стороны \(BC\) имеем: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\).
Подставляем значения: \((2\sqrt{7})^2 = 2^2 + (4\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos \angle A\).
Вычисляем: \(28 = 4 + 48 — 16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A\).
Приводим к виду: \(-24 = -16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A\).
Делим на \(-16\sqrt{3}\): \(\cos \angle A = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Следовательно, \(\angle A = 30^\circ\).
Для нахождения угла \( \angle A \), который противолежит стороне \( BC \), применяем теорему косинусов. Эта теорема связывает длины сторон треугольника и угол между ними. Формула выглядит так: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \). Здесь \( BC \) — сторона, напротив угла \( A \), а \( AB \) и \( AC \) — две другие стороны треугольника.
Подставляем известные значения: \( BC = 2\sqrt{7} \), \( AB = 2 \), \( AC = 4\sqrt{3} \). Тогда уравнение принимает вид \( (2\sqrt{7})^2 = 2^2 + (4\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos \angle A \). Считаем квадраты: \( (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28 \), \( 2^2 = 4 \), \( (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \). Подставляя, получаем: \( 28 = 4 + 48 — 16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A \).
Приводим уравнение к удобному виду, складывая 4 и 48: \( 28 = 52 — 16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A \). Переносим 52 в левую часть: \( 28 — 52 = -16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A \), что даёт \( -24 = -16\sqrt{3} \cdot \cos \angle A \). Делим обе части на \( -16\sqrt{3} \), получая \( \cos \angle A = \frac{-24}{-16\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} \). Сокращаем дробь: \( \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \). Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \( \cos \angle A = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Значение \( \cos \angle A = \frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствует углу \( 30^\circ \). Таким образом, угол \( \angle A \), противолежащий стороне \( BC \), равен \( 30^\circ \).
