ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 2 см, \(2\sqrt{7}\) см и \(4\sqrt{3}\) см. Найдите угол треугольника, противолежащий его средней стороне.

Пусть \(BC = 3x\), \(AC = 8x\).

По теореме косинусов: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos 60^\circ\).

Подставляем: \(35^2 = (3x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \frac{1}{2}\).

Получаем: \(1225 = 9x^2 + 64x^2 — 24x^2 = 49x^2\).

Отсюда \(x^2 = \frac{1225}{49} = 25\), значит \(x = 5\).

Тогда \(BC = 3 \cdot 5 = 15\), \(AC = 8 \cdot 5 = 40\).

Пусть стороны треугольника \(BC\) и \(AC\) выражаются через переменную \(x\) как \(BC = 3x\) и \(AC = 8x\) соответственно. Это соответствует условию, что их длины относятся как 3 к 8. Нам также известно, что сторона \(AB\) равна 35 см, а угол между сторонами \(BC\) и \(AC\), то есть угол \(C\), равен 60 градусам. Для нахождения длины сторон \(BC\) и \(AC\) используем теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и угол между ними.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат длины стороны напротив угла равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае формула принимает вид: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos 60^\circ\). Подставим в неё выражения через \(x\): \(35^2 = (3x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \cos 60^\circ\). Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), поэтому уравнение становится \(1225 = 9x^2 + 64x^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \frac{1}{2}\).

Выполним вычисления: \(1225 = 9x^2 + 64x^2 — 24x^2\), так как \(2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 24\). Сложим и вычтем степени: \(9x^2 + 64x^2 — 24x^2 = (9 + 64 — 24) x^2 = 49x^2\). Получаем уравнение \(1225 = 49x^2\). Чтобы найти \(x\), разделим обе части на 49: \(x^2 = \frac{1225}{49} = 25\). Извлекая квадратный корень, получаем \(x = 5\). Теперь вычислим длины сторон: \(BC = 3 \cdot 5 = 15\) см, \(AC = 8 \cdot 5 = 40\) см.