Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью \(\alpha\), если расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\): 1) равно проекции наклонной на плоскость \(\alpha\); 2) в два раза меньше самой наклонной?
Из прямоугольного треугольника с катетами \(AC\) и \(CB\) и гипотенузой \(AB\) угол между наклонной и плоскостью равен \(\angle ACB\).
1) Если \(AC = CB\), то \(AB = AC \sqrt{2}\). Тогда \(\sin \angle ACB = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ\). Значит, \(\angle ACB = 45^\circ\).
2) Если \(AC = \frac{1}{2} AB\), то \(CB = \frac{\sqrt{3}}{2} AB\). Тогда \(\sin \angle ACB = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ\). Значит, \(\angle ACB = 30^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(ACB\), где \(AC\) — перпендикуляр от точки \(A\) к плоскости \(\alpha\), \(CB\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость, а \(AB\) — сама наклонная. Угол между наклонной и плоскостью равен углу \(\angle ACB\). Это ключевое соотношение, потому что именно этот угол показывает, насколько наклонна линия относительно плоскости.
В первом случае дано, что расстояние от точки до плоскости \(AC\) равно проекции наклонной \(CB\), то есть \(AC = CB\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ACB\) имеем \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\). Подставляем условие: \(AB^{2} = AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}\), следовательно, \(AB = AC \sqrt{2}\). Чтобы найти угол \(\angle ACB\), используем отношение синуса: \(\sin \angle ACB = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{AC \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ\). Значит, угол между наклонной и плоскостью равен \(45^\circ\).
Во втором случае известно, что расстояние от точки до плоскости в два раза меньше наклонной, то есть \(AC = \frac{1}{2} AB\). Снова применяем теорему Пифагора: \(CB^{2} = AB^{2} — AC^{2} = AB^{2} — \left(\frac{1}{2} AB\right)^{2} = AB^{2} — \frac{1}{4} AB^{2} = \frac{3}{4} AB^{2}\), следовательно, \(CB = \frac{\sqrt{3}}{2} AB\). Синус угла \(\angle ACB\) равен \(\frac{AC}{AB} = \frac{1/2 AB}{AB} = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ\). Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен \(30^\circ\).
