Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) (рис. 12.6), \(AB = AM = 6\) см, \(AC = 2\sqrt{3}\) см. Найдите угол, который образует с плоскостью \(ABC\) прямая: 1) \(MB\); 2) \(MC\).
Дано: \(MA \perp ABC\), \(AB = AM = 6\), \(AC = 2\sqrt{3}\).
Угол между \(MB\) и плоскостью равен углу между \(MB\) и \(AB\), то есть \(\angle M B A = 45^\circ\).
Угол между \(MC\) и плоскостью равен углу между \(MC\) и \(AC\). Рассчитаем \(\tan \angle M C A = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), значит \(\angle M C A = 60^\circ\).
Ответ: 1) \(45^\circ\); 2) \(60^\circ\).
Точка \(M\) расположена так, что отрезок \(MA\) перпендикулярен плоскости \(ABC\). Это означает, что \(MA\) образует прямой угол с любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\) и проходящей через точку \(A\). В частности, \(MA \perp AB\) и \(MA \perp AC\). Из условия известно, что \(AB = AM = 6\) см, а \(AC = 2\sqrt{3}\) см.
Для нахождения угла между прямой \(MB\) и плоскостью \(ABC\) нужно рассмотреть проекцию прямой \(MB\) на плоскость \(ABC\). Поскольку \(M\) не лежит в плоскости, проекция точки \(M\) на плоскость — это точка \(A\). Значит, проекцией отрезка \(MB\) на плоскость будет отрезок \(AB\). Следовательно, угол между \(MB\) и плоскостью равен углу между \(MB\) и \(AB\). Рассмотрим треугольник \(MAB\), в котором \(AM = AB = 6\) см, то есть он равнобедренный. Поскольку \(MA \perp ABC\), угол между \(MB\) и плоскостью \(ABC\) равен углу при вершине \(B\), который равен \(45^\circ\).
Для нахождения угла между \(MC\) и плоскостью \(ABC\) аналогично рассматриваем проекцию \(MC\) на плоскость, которая совпадает с отрезком \(AC\). Тогда искомый угол — это угол между \(MC\) и \(AC\). В треугольнике \(MAC\) катет \(AM = 6\) см перпендикулярен плоскости, а \(AC = 2\sqrt{3}\) см лежит в плоскости. Тогда тангенс угла между \(MC\) и \(AC\) равен отношению противолежащего катета \(AM\) к прилежащему \(AC\), то есть \(\tan \angle MCA = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\). Из этого следует, что \(\angle MCA = 60^\circ\).
Ответ: угол между \(MB\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\), угол между \(MC\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\).
