Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\) (рис. 12.7), сторона которого равна 6 см. Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Найдите угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\), если \(MA = 2\) см.
Дано: правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(AB=6\) см, \(O\) — центр треугольника, \(MA \perp\) плоскости \(ABC\), \(MA=2\) см.
Найдем \(AO\) по формуле центра правильного треугольника: \(AO = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см.
Длина \(MO = \sqrt{MA^2 + AO^2} = \sqrt{2^2 + (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 27} = \sqrt{31}\) см.
Угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(MO\) и проекцией \(AO\), поэтому \(\cos \theta = \frac{AO}{MO} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}}\).
Значит, \(\theta = \arccos \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}}\).
Рассмотрим правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 6\) см. Центр \(O\) этого треугольника является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, и для правильного треугольника он совпадает с центром вписанной и описанной окружностей. Расстояние от вершины \(A\) до центра \(O\) можно найти по формуле \(AO = \frac{AB \sqrt{3}}{2}\), так как высота правильного треугольника равна \(h = \frac{AB \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значение стороны, получаем \(AO = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см.
Далее, нам известно, что отрезок \(MA\) перпендикулярен плоскости \(ABC\) и равен 2 см. Значит, точка \(M\) расположена на высоте над плоскостью треугольника. Чтобы найти длину отрезка \(MO\), соединяющего точку \(M\) с центром \(O\) в плоскости, используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(MAO\), где \(MA\) — высота, а \(AO\) — основание. Тогда длина \(MO = \sqrt{MA^2 + AO^2} = \sqrt{2^2 + (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 27} = \sqrt{31}\) см.
Угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(MO\) и её проекцией на плоскость, то есть отрезком \(AO\). Для нахождения этого угла \(\theta\) используем косинус угла между векторами: \(\cos \theta = \frac{AO}{MO} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}}\). Следовательно, искомый угол равен \(\theta = \arccos \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}}\).
