Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Дано: \(AB = AC\), \(AH\) — перпендикуляр к плоскости.
Треугольники \(ABH\) и \(ACH\) имеют:
\(AB = AC\) (по условию),
\(AH = AH\) (общий катет),
\(BH = CH\) (основания перпендикуляров равны).
По признаку равенства треугольников по катету и гипотенузе:
\(\triangle ABH = \triangle ACH\).
Отсюда следует, что углы при основании равны:
\(\angle B = \angle C\).
Пусть из точки \(A\) к плоскости проведены две наклонные \(AB\) и \(AC\), при этом они равны: \(AB = AC\). Обозначим \(AH\) перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость, и \(H\) — точку основания этого перпендикуляра. По определению перпендикуляра, угол между \(AH\) и плоскостью равен \(90^\circ\). Точки \(B\) и \(C\) лежат на плоскости, поэтому отрезки \(BH\) и \(CH\) лежат в плоскости и перпендикулярны \(AH\).
Рассмотрим треугольники \(ABH\) и \(ACH\). В них общим является катет \(AH\). По условию, наклонные равны: \(AB = AC\). Основания перпендикуляров \(BH\) и \(CH\) равны, так как \(H\) — проекция точки \(A\) на плоскость, а \(B\) и \(C\) лежат на одинаковом расстоянии от \(H\) по плоскости. Таким образом, в треугольниках \(ABH\) и \(ACH\) известны по две стороны: \(AB = AC\), \(AH = AH\), и основания \(BH = CH\).
По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, треугольники \(ABH\) и \(ACH\) равны: \(\triangle ABH = \triangle ACH\). Следовательно, равны и соответствующие углы при вершинах \(B\) и \(C\), то есть углы между наклонными и плоскостью: \(\angle B = \angle C\). Это доказывает, что равные наклонные из одной точки к плоскости образуют равные углы с этой плоскостью.
