Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямоугольники \(ABCD\) и \(BCEF\) лежат в разных плоскостях (рис. 13.15), причём прямая \(AF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, если \(AF = \sqrt{15}\) см, \(CD = \sqrt{5}\) см.
Прямая \(AF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), значит вектор \(AF\) — нормаль к плоскости \(ABCD\).
Плоскость \(BCEF\) содержит векторы \(BC\) и \(CE\). Найдём угол между вектором \(AF\) и нормалью к плоскости \(BCEF\).
Длина \(AF = \sqrt{15}\), длина \(CD = \sqrt{5}\).
Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. По условию и рисунку этот угол равен \(60^\circ\).
Ответ: угол двугранного угла между плоскостями равен \(60^\circ\).
Прямая \(AF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), следовательно, вектор \(AF\) является нормалью к плоскости \(ABCD\). Это означает, что угол между плоскостью \(ABCD\) и любой другой плоскостью будет равен углу между вектором \(AF\) и нормалью к этой другой плоскости. В данном случае нам нужно найти двугранный угол между плоскостями, содержащими прямоугольники \(ABCD\) и \(BCEF\).
Плоскость, содержащая прямоугольник \(BCEF\), образована векторами \(BC\) и \(CE\). Чтобы найти нормаль к этой плоскости, нужно вычислить векторное произведение векторов \(BC\) и \(CE\). После этого угол между плоскостями будет равен углу между вектором \(AF\) и нормалью к плоскости \(BCEF\). Длина отрезка \(AF\) равна \(\sqrt{15}\), длина \(CD\) равна \(\sqrt{5}\), что позволяет определить масштабы и соотношения в пространстве.
Вычисляя угол между нормалями, используем формулу косинуса угла: \(\cos \theta = \frac{| \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} |}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\), где \(\vec{n_1}\) — вектор \(AF\), а \(\vec{n_2}\) — нормаль к плоскости \(BCEF\). По условию и расчетам получается, что угол двугранного угла равен \(60^\circ\). Таким образом, двугранный угол между плоскостями, содержащими прямоугольники \(ABCD\) и \(BCEF\), равен \(60^\circ\).
