ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) лежат в разных плоскостях (рис. 13.16), причём прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если \(\angle ACD = 90^\circ\), \(BC = 6\) см, \(CD = 12\) см.

Дано: \(BC = 6\) см, \(CD = 12\) см, \(\angle ACD = 90^\circ\), \(BD \perp\) плоскости \(ABC\).

Треугольник \(DMC\) прямоугольный с катетами \(MC = 6\) см и \(CD = 12\) см.

Вычисляем угол \( \angle DMB \) в треугольнике \(DMB\), который равен двугранному углу между плоскостями.

Так как \(DMB\) равносторонний, то \(\angle DMB = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Дано, что треугольники \(ABC\) и \(ACD\) находятся в разных плоскостях, прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), угол \( \angle ACD = 90^\circ \), а отрезки \(BC = 6\) см и \(CD = 12\) см. Нам нужно найти двугранный угол между плоскостями, в которых лежат эти треугольники.

Поскольку \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), она является нормалью к этой плоскости. Для определения двугранного угла между плоскостями достаточно найти угол между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости \(ABC\) направлена вдоль \(BD\), а нормаль к плоскости \(ACD\) можно определить через векторы \(AC\) и \(CD\). Угол между этими нормалями равен искомому двугранному углу.

Рассмотрим треугольник \(DMC\), где \(M\) – проекция точки \(D\) на плоскость \(ABC\). По условию, \(MC = BC = 6\) см, \(CD = 12\) см, и угол \( \angle CMD = 90^\circ \). Значит, треугольник \(DMC\) прямоугольный с катетами 6 см и 12 см. Это позволяет вычислить длину гипотенузы \(DM\) по теореме Пифагора: \(DM = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}\). Далее угол между нормалями равен углу \( \angle DMB \) в треугольнике \(DMB\), который оказывается равен 60^\circ. Таким образом, двугранный угол между плоскостями равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).