ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны плоскость \(\alpha\) и параллельная ей прямая \(a\). Сколько плоскостей можно провести через прямую \(a\), таких, что угол \(\varphi\) между плоскостью \(\alpha\) и проведённой плоскостью удовлетворяет условию: 1) \(\varphi = 90^\circ\); 2) \(\varphi = 0^\circ\); 3) \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\)?

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\).

Через \(a\) можно провести ровно одну плоскость, перпендикулярную \(\alpha\), так как она должна содержать \(a\) и быть перпендикулярна \(\alpha\).

Через \(a\) можно провести ровно одну плоскость, параллельную \(\alpha\), так как она совпадает с \(\alpha\) или параллельна ей.

Через \(a\) можно провести бесконечно много плоскостей с углом \(\varphi\), где \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), меняя наклон плоскости вокруг \(a\).

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), значит она лежит в направлении, не пересекающем эту плоскость. Это накладывает ограничения на плоскости, которые можно провести через \(a\) с заданным углом \(\varphi\) к \(\alpha\). Рассмотрим каждый случай отдельно.

Если угол между плоскостью, проходящей через \(a\), и плоскостью \(\alpha\) равен \(90^\circ\), то эти плоскости перпендикулярны. Плоскость, проходящая через \(a\) и перпендикулярная \(\alpha\), существует и при этом единственная, потому что направление прямой \(a\) фиксировано, и чтобы плоскость была перпендикулярна \(\alpha\), она должна содержать \(a\) и быть ориентирована так, чтобы нормаль к ней была перпендикулярна нормали плоскости \(\alpha\). Другие варианты привести к изменению угла, отличного от \(90^\circ\).

Если угол \(\varphi\) равен \(0^\circ\), то плоскость, проходящая через \(a\), должна быть параллельна \(\alpha\). Так как \(a\) уже параллельна \(\alpha\), существует ровно одна плоскость, содержащая \(a\) и параллельная \(\alpha\). Она либо совпадает с \(\alpha\), либо смещена параллельно, но при этом угол между ними равен нулю. Других плоскостей с углом \(0^\circ\) через \(a\) не существует.

Если угол \(\varphi\) лежит в интервале \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), то плоскости, проходящие через \(a\), могут иметь любой наклон относительно \(\alpha\), кроме строго параллельного и перпендикулярного. В этом случае вокруг прямой \(a\) можно вращать плоскость, изменяя угол наклона, и таких плоскостей будет бесконечно много. Это объясняется тем, что угол между двумя плоскостями определяется углом между их нормалями, и вращение плоскости вокруг \(a\) меняет этот угол непрерывно.