Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости равностороннего треугольника \(ABC\) (рис. 13.17). Найдите угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\).
Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), значит он перпендикулярен обеим плоскостям \(ABM\) и \(CBM\). Следовательно, угол между плоскостями равен углу между прямыми \(AB\) и \(CB\).
В треугольнике \(ABC\) равностороннем угол при вершине \(B\) равен \(60^\circ\), значит угол между векторами \(AB\) и \(CB\) равен \(180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).
Ответ: угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) равен \(120^\circ\).
Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), что означает, что он образует прямой угол со всеми прямыми, лежащими в этой плоскости и проходящими через точку \(B\). В частности, \(MB\) перпендикулярен отрезкам \(AB\) и \(CB\), так как они лежат в плоскости \(ABC\). Следовательно, векторы, направленные вдоль \(AB\) и \(CB\), лежат в плоскости \(ABC\), а вектор \(MB\) направлен перпендикулярно этой плоскости.
Плоскость \(ABM\) определяется точками \(A\), \(B\) и \(M\), а плоскость \(CBM\) — точками \(C\), \(B\) и \(M\). В обеих плоскостях присутствует общий вектор \(MB\), который является перпендикуляром к плоскости \(ABC\). Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Нормаль к плоскости \(ABM\) перпендикулярна к векторам \(AB\) и \(MB\), а нормаль к плоскости \(CBM\) перпендикулярна к векторам \(CB\) и \(MB\). Поскольку \(MB\) общий вектор, угол между нормалями равен углу между векторами \(AB\) и \(CB\).
В равностороннем треугольнике \(ABC\) все стороны равны, а каждый внутренний угол равен \(60^{\circ}\). Угол при вершине \(B\), то есть \(\angle ABC\), равен \(60^{\circ}\). Векторы \(BA\) и \(BC\) образуют угол \(60^{\circ}\), следовательно, векторы \(AB\) и \(CB\), направленные в противоположные стороны от точки \(B\), образуют угол \(180^{\circ} — 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Этот угол и будет искомым углом между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\).
Ответ: угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) равен \(120^{\circ}\).
