ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точка \(M\) — середина ребра \(CD\). Докажите, что угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен углу \(AMB\).

Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, значит треугольники \(ADC\) и \(BDC\) равносторонние.

Точка \(M\) — середина ребра \(CD\), поэтому \(AM\) и \(BM\) являются медианами и высотами в треугольниках \(ADC\) и \(BDC\).

Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен углу между медианами \(AM\) и \(BM\), то есть \(\angle (ACD, BCD) = \angle AMB\).

Тетраэдр \(DABC\) правильный, то есть все его рёбра равны: \(DA = DB = DC = AB = AC = BC\). Это значит, что каждое из трёхугольников, образованных вершинами тетраэдра, является равносторонним. В частности, треугольники \(ADC\) и \(BDC\) равносторонние, так как они содержат ребра \(AD\), \(DC\) и \(BD\), \(DC\) соответственно, которые равны по длине.

Точка \(M\) — середина ребра \(CD\), следовательно, \(CM = MD\). Рассмотрим отрезки \(AM\) и \(BM\). Поскольку \(M\) — середина ребра, а треугольники \(ADC\) и \(BDC\) равносторонние, отрезки \(AM\) и \(BM\) являются медианами и одновременно высотами в этих треугольниках. Это важно, так как высоты в равностороннем треугольнике перпендикулярны соответствующим сторонам и лежат в плоскости треугольника.

Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) определяется как угол между их нормалями. Нормали к плоскостям можно выразить через векторное произведение векторов, лежащих в этих плоскостях. Векторы, образующие грани \(ACD\) и \(BCD\), связаны с отрезками \(AM\) и \(BM\). Из-за симметрии правильного тетраэдра угол между плоскостями совпадает с углом между отрезками \(AM\) и \(BM\), то есть \(\angle (ACD, BCD) = \angle AMB\).