Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Грань \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадратом, \(AD = 4\sqrt{3}\) см, \(AA_1 = 3\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).
Пусть \(AD = 4\sqrt{3}\), \(AA_1 = 3\). Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) пересекаются по линии, параллельной стороне \(BC\).
Треугольник \(A_1D_1B_1\) равносторонний, значит угол между плоскостями равен углу между высотой \(AA_1\) и диагональю основания \(AC\).
Вычислим угол \(\theta\) по формуле косинуса:
\(\cos \theta = \frac{AA_1}{A_1B} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
Отсюда \(\theta = 60^\circ\).
Ответ: угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равен \(60^\circ\).
1. Дано, что \(ABCD\) — квадрат с длиной стороны \(AD = 4\sqrt{3}\) см, и высота параллелепипеда \(AA_1 = 3\) см. Нужно найти угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).
2. Плоскость \(ABC\) лежит в основании параллелепипеда, а плоскость \(A_1B_1C_1\) — на верхнем основании, параллельном нижнему, но сдвинутом вверх на высоту \(3\) см.
3. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Нормаль к плоскости \(ABC\) направлена вертикально вверх, вдоль \(AA_1\).
4. Рассмотрим вектор диагонали основания \(AC\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат со стороной \(4\sqrt{3}\), длина диагонали \(AC = AD \sqrt{2} = 4\sqrt{3} \sqrt{2} = 4 \sqrt{6}\).
5. Вектор \(AA_1\) направлен вертикально вверх и равен \(3\) см.
6. Угол между плоскостями равен углу между вектором \(AA_1\) и вектором, лежащим в плоскости \(A_1B_1C_1\), который можно принять как диагональ верхнего основания \(A_1C_1\), равную \(4\sqrt{6}\).
7. Найдём косинус угла \(\theta\) между векторами \(AA_1\) и \(A_1C_1\):
\(\cos \theta = \frac{AA_1}{A_1C_1} = \frac{3}{4 \sqrt{6}}\).
8. Упростим выражение:
\(\cos \theta = \frac{3}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{8}\).
9. Вычислим \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{6}}{8} \approx 60^\circ\).
10. Таким образом, угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равен \(60^\circ\).
