ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В гранях двугранного угла, равного \(45^\circ\), проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на \(2\sqrt{2}\) см и 3 см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Даны две прямые, параллельные ребру двугранного угла в \(45^\circ\), удалённые от ребра на \(2\sqrt{2}\) и 3 см.

Расстояние между прямыми \(OP\) находим по теореме косинусов в треугольнике \(COP\):

\(OP^2 = OC^2 + CP^2 — 2 \cdot OC \cdot CP \cdot \cos 45^\circ\).

Подставляем значения:

\(OP^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 — 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 9 — 12 = 5\).

Отсюда \(OP = \sqrt{5}\) см.

1. Дано двугранный угол с величиной \(45^\circ\). Рассмотрим две прямые, параллельные ребру этого угла, и обозначим расстояния от ребра до этих прямых как \(OC = 2\sqrt{2}\) см и \(CP = 3\) см.

2. Требуется найти расстояние \(OP\) между этими двумя параллельными прямыми.

3. Рассмотрим треугольник \(COP\), где вершина \(O\) — точка на ребре двугранного угла, а точки \(C\) и \(P\) лежат на параллельных прямых.

4. В треугольнике \(COP\) известны стороны \(OC\) и \(CP\), а также угол между ними, равный двугранному углу \(45^\circ\).

5. По теореме косинусов для стороны \(OP\) имеем формулу: \(OP^2 = OC^2 + CP^2 — 2 \cdot OC \cdot CP \cdot \cos 45^\circ\).

6. Подставим известные значения: \(OC = 2\sqrt{2}\), \(CP = 3\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

7. Вычислим квадраты сторон: \(OC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\), \(CP^2 = 3^2 = 9\).

8. Найдем произведение: \(2 \cdot OC \cdot CP \cdot \cos 45^\circ = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\).

9. Подставим в формулу: \(OP^2 = 8 + 9 — 12 = 5\).

10. Найдем расстояние \(OP\): \(OP = \sqrt{5}\) см.