ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскость \(\alpha\) пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым \(m\) и \(n\). Расстояние от ребра двугранного угла до прямой \(m\) равно 3 см, до прямой \(n\) — 5 см, а расстояние между прямыми \(m\) и \(n\) — 7 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть \(M d = 3\), \(N d = 5\), \(M N = 7\). По теореме косинусов для треугольника \(M d N\) имеем: \(7^2 = 3^2 + 5^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \angle M d N\).

Вычисляем: \(49 = 9 + 25 — 30 \cos \angle M d N\), откуда \(49 = 34 — 30 \cos \angle M d N\).

Переносим: \(15 = -30 \cos \angle M d N\), значит \(\cos \angle M d N = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}\).

Угол с таким косинусом равен \(120^\circ\).

1. Дано двугранный угол с ребром \(d\). Плоскость \(\alpha\) пересекает грани двугранного угла по прямым \(m\) и \(n\), которые параллельны.

2. Из условия известно, что расстояние от ребра \(d\) до прямой \(m\) равно 3 см, то есть \(M d = 3\).

3. Аналогично расстояние от ребра \(d\) до прямой \(n\) равно 5 см, то есть \(N d = 5\).

4. Расстояние между прямыми \(m\) и \(n\) равно 7 см, то есть \(M N = 7\).

5. Рассмотрим треугольник \(M d N\), где отрезки \(M d\) и \(N d\) — расстояния от ребра до прямых, а \(M N\) — расстояние между прямыми.

6. По теореме косинусов для треугольника \(M d N\) имеем формулу: \(M N^{2} = M d^{2} + N d^{2} — 2 \cdot M d \cdot N d \cdot \cos \angle M d N\).

7. Подставляем известные значения: \(7^{2} = 3^{2} + 5^{2} — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \angle M d N\).

8. Вычисляем: \(49 = 9 + 25 — 30 \cos \angle M d N\), откуда \(49 = 34 — 30 \cos \angle M d N\).

9. Переносим слагаемые: \(49 — 34 = -30 \cos \angle M d N\), то есть \(15 = -30 \cos \angle M d N\).

10. Находим косинус угла: \(\cos \angle M d N = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}\). Угол, косинус которого равен \(-\frac{1}{2}\), равен \(120^\circ\).