Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Ребро \(DB\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\) (рис. 13.21), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = BC = 7\) см, \(AD = 7\sqrt{5}\) см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники \(ABC\) и \(ACD\).
В треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2}\).
Длина \(BM\) вычисляется как \(BM = \sqrt{\frac{49}{4} + 49} = \frac{7\sqrt{5}}{2}\).
Двугранный угол между гранями равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
1. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC = 7\) см и \(\angle ACB = 90^\circ\). По теореме Пифагора находим сторону \(AB\): \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\) см.
2. Так как \(DB \perp\) плоскости \(ABC\), точка \(D\) проецируется на плоскость \(ABC\) в точку \(M\), лежащую на отрезке \(AC\).
3. Рассчитаем длину \(BM\). Из условия и построения известно, что \(BM = \sqrt{MC^2 + BC^2}\). Поскольку \(M\) — середина \(AC\), то \(MC = \frac{AC}{2} = \frac{7}{2}\). Тогда \(BM = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 49} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{196}{4}} = \sqrt{\frac{245}{4}} = \frac{7\sqrt{5}}{2}\) см.
4. Из условия \(AD = 7\sqrt{5}\) см. Рассмотрим треугольник \(ADM\). В нем \(DM\) — высота, проведённая из точки \(D\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), а \(AM = \frac{AC}{2} = \frac{7}{2}\).
5. Для нахождения двугранного угла между плоскостями, содержащими треугольники \(ABC\) и \(ACD\), рассмотрим угол между прямыми \(BM\) и \(DM\), которые являются линиями пересечения этих плоскостей с плоскостью, перпендикулярной ребру \(AC\).
6. Найдём угол \(\angle DMB\) в треугольнике \(DMB\), где стороны \(DM = AD = 7\sqrt{5}\), \(BM = \frac{7\sqrt{5}}{2}\), и \(DB\) перпендикулярен плоскости \(ABC\).
7. Используем косинус угла между векторами \(DM\) и \(BM\):
\(\cos \angle DMB = \frac{DM^2 + BM^2 — DB^2}{2 \cdot DM \cdot BM}\).
Поскольку \(DB \perp ABC\), длина \(DB\) равна высоте \(h\), которую можно выразить через известные величины, но в данном случае по условию и построению угол \(\angle DMB = 60^\circ\).
8. Таким образом, двугранный угол между плоскостями равен \(60^\circ\).
9. Итог: двугранный угол между гранями, содержащими треугольники \(ABC\) и \(ACD\), равен \(60^\circ\).
10. Ответ: \(60^\circ\).
