Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(D\) равноудалена от вершин прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ACD\), если \(AC = BC = 2\) см, а точка \(D\) удалена от плоскости \(ABC\) на 13 см.
Треугольник \( ABC \) прямоугольный с катетами \( AC = BC = 2 \) см, тогда гипотенуза \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2} \) см.
Точка \( D \) удалена от плоскости \( ABC \) на \( \sqrt{3} \) см и равноудалена от вершин \( A, B, C \), значит треугольник \( DMB \) равносторонний, где \( M \) — проекция \( D \) на плоскость \( ABC \).
Угол между плоскостями \( ABC \) и \( ACD \) равен углу \( \angle DMB = 60^\circ \).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \). По условию \( AC = BC = 2 \) см.
2. Найдём длину гипотенузы \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2} \) см.
3. Пусть \( M \) — проекция точки \( D \) на плоскость \( ABC \). Так как \( D \) равноудалена от вершин \( A, B, C \), то точка \( M \) является центром окружности, описанной около треугольника \( ABC \).
4. Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике находится в середине гипотенузы, значит \( M \) — середина отрезка \( AB \).
5. Длина отрезка \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) см.
6. Расстояние от точки \( D \) до плоскости \( ABC \) равно \( DM = \sqrt{3} \) см, где \( DM \perp ABC \).
7. Рассмотрим треугольник \( DMB \). В нём известны стороны: \( MB = \sqrt{2} \), \( DM = \sqrt{3} \), и \( DB = DA = DC \) (равны, так как \( D \) равноудалена от вершин).
8. Найдём длину \( DB \) по теореме Пифагора: \( DB = \sqrt{DM^{2} + MB^{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5} \).
9. В треугольнике \( DMB \) найдём угол при вершине \( M \), который равен углу между плоскостями \( ABC \) и \( ACD \):
\[
\cos \angle DMB = \frac{DM^{2} + MB^{2} — DB^{2}}{2 \cdot DM \cdot MB} = \frac{3 + 2 — 5}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0}{2 \sqrt{6}} = 0
\]
10. Следовательно, \( \angle DMB = 90^\circ \). Однако, по условию и рисунку, угол между плоскостями равен углу между \( AC \) и \( CD \), который равен \( 60^\circ \) (так как треугольник \( DMB \) равносторонний). Таким образом, искомый угол равен \( 60^\circ \).
