ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(D\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\), если \(AB = 12\) см, а точка \(D\) удалена от плоскости \(ABC\) на 2 см.

Дано: равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB=12\) см, точка \(D\) удалена от плоскости \(ABC\) на 2 см и равноудалена от вершин.

Вычисляем высоту треугольника \(ABC\): \(h = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см.

Косинус угла между плоскостями равен отношению \( \frac{OM}{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Угол между плоскостями равен \(30^\circ\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 12\) см. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит \(BC = AC = 12\) см. Для нахождения высоты \(h\) треугольника воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\), где \(a\) — длина стороны. Подставляя \(a = 12\), получаем \(h = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см. Эта высота является расстоянием от вершины \(C\) до основания \(AB\) и одновременно высотой плоскости треугольника.

Точка \(D\) расположена вне плоскости треугольника \(ABC\) на расстоянии 2 см, при этом она равноудалена от всех вершин треугольника. Это означает, что \(D\) лежит на оси, перпендикулярной плоскости \(ABC\), проходящей через центр вписанной окружности или центр масс треугольника. Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 2 см, что является высотой перпендикуляра \(DM\), где \(M\) — проекция точки \(D\) на плоскость \(ABC\).

Для вычисления угла между плоскостью \(ABC\) и плоскостью, проходящей через точку \(D\) и ребро \(CD\), используем косинус угла между этими плоскостями. Косинус угла равен отношению проекции отрезка \(OM\) на сторону \(CD\), где \(O\) — центр треугольника, а \(CD\) — расстояние между точкой \(C\) и точкой \(D\). Так как \(OM = 6 \sqrt{3}\) см, а \(CD = 12\) см, то \(\cos \alpha = \frac{OM}{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, искомый угол равен \(30^\circ\).