ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали ромба \(ABCD\) с тупым углом при вершине \(B\) равны 30 см и 40 см. Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости ромба, \(MB = 24\) см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\).

Половины диагоналей ромба: \(EO = OC = \frac{30}{2} = 15\) см, \(BO = OD = \frac{40}{2} = 20\) см.

Длина отрезка \(ED = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25\) см.

Треугольник \(MKC\) равнобедренный, угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\) равен \(45^\circ\).

1. В ромбе \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам, значит \(EO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15\) см и \(BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{40}{2} = 20\) см.

2. Найдём длину отрезка \(ED\) по теореме Пифагора: \(ED = \sqrt{EO^2 + OD^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\) см.

3. Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости ромба и равен 24 см, это означает, что \(MB\) — высота из точки \(M\), расположенной вне плоскости ромба.

4. Рассмотрим треугольник \(MKC\), в котором \(MK = MC\) по условию равнобедренности.

5. Проекция точки \(M\) на плоскость ромба — точка \(B\), следовательно, отрезок \(MB\) является высотой, и \(MB \perp AC\).

6. Угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\) равен углу между отрезком \(MB\) и плоскостью \(CMD\).

7. Рассмотрим треугольник \(MKH\), где \(H\) — основание перпендикуляра из \(M\) на \(CD\).

8. По условию, угол \(\angle MKH = 45^\circ\), так как треугольник \(MKH\) равнобедренный с катетами 24 см и 24 см.

9. Следовательно, угол между плоскостью ромба \(ABCD\) и плоскостью \(CMD\) равен \(45^\circ\).

10. Ответ: угол между плоскостями равен \(45^\circ\).