ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(MC\) — перпендикуляр к плоскости квадрата \(ABCD\). Угол между плоскостью квадрата и плоскостью \(AMD\) равен \(45^\circ\). Найдите площадь квадрата, если точка \(M\) удалена от прямой \(AD\) на 10 см.

Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно 10 см, это гипотенуза треугольника \(M u_1 K\).

Угол между плоскостями равен 45°, значит \(u_1 K = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}\) см.

Площадь квадрата равна квадрату стороны \(u_1 K\), то есть \(S_{ABCD} = (5 \sqrt{2})^2 = 50\) см².

1. Пусть \(ABCD\) — квадрат с вершинами \(A, B, C, D\). Точка \(M\) расположена так, что отрезок \(MC\) перпендикулярен плоскости квадрата \(ABCD\).

2. Обозначим \(u_1\) проекцию точки \(M\) на плоскость квадрата \(ABCD\). Тогда \(M u_1\) перпендикулярно плоскости \(ABCD\).

3. По условию угол между плоскостью квадрата \(ABCD\) и плоскостью \(AMD\) равен \(45^\circ\). Это значит, что угол между прямой \(M u_1\) и плоскостью \(AMD\) равен \(45^\circ\).

4. Рассмотрим треугольник \(M u_1 K\), где \(K\) — точка пересечения перпендикуляра из \(u_1\) на прямую \(AD\). По условию расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно 10 см, то есть \(M K = 10\) см.

5. В треугольнике \(M u_1 K\) угол при \(K\) равен \(45^\circ\), а \(M u_1\) перпендикулярен плоскости квадрата, значит \(u_1 K\) — проекция \(M K\) на плоскость квадрата.

6. Тогда длина \(u_1 K\) равна \(M K \cdot \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}\) см.

7. Поскольку \(u_1 K\) — расстояние от проекции точки \(M\) до прямой \(AD\) в плоскости квадрата, а квадрат \(ABCD\) имеет сторону \(u_1 K\), то сторона квадрата равна \(5 \sqrt{2}\) см.

8. Площадь квадрата \(ABCD\) равна квадрату стороны, то есть \(S_{ABCD} = (5 \sqrt{2})^{2} = 25 \cdot 2 = 50\) см².