ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Катет \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(30^\circ\). Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), если \(AB = 15\) см, \(BC = 9\) см.

Найдем катет \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = 12\) см.

Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно проекции \(AC\) на перпендикуляр к плоскости, то есть \(AK = AC \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см.

Ответ: \(6\) см.

1. В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) по теореме Пифагора найдем катет \(AC\): \(AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12\) см.

2. Плоскость \(\alpha\) содержит катет \(BC\). Угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника \(ABC\) равен \(30^\circ\).

3. Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно длине перпендикуляра из точки \(A\) на эту плоскость.

4. Этот перпендикуляр можно представить как проекцию отрезка \(AC\) на направление, перпендикулярное плоскости \(\alpha\).

5. Так как угол между плоскостями равен \(30^\circ\), то длина перпендикуляра равна \(AC \cdot \sin 30^\circ\).

6. Подставим значения: \(AK = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см.

7. Таким образом, расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно 6 см.