Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(45^\circ\). Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 12\) см, \(AB = 10\) см.
В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC = 12 \) см и боковой стороной \( AB = 10 \) см высота \( BK \) равна \( \sqrt{10^2 — 6^2} = 8 \) см.
Поскольку угол между плоскостями \( \alpha \) и \( ABC \) равен \( 45^\circ \), треугольник \( BKM \) равнобедренный прямоугольный с гипотенузой \( BK = 8 \) см.
Обозначим \( BM = KM = x \). Тогда \( 2x^2 = 8^2 = 64 \), откуда \( x^2 = 32 \) и \( x = 4\sqrt{2} \) см.
Ответ: \( BM = 4\sqrt{2} \) см.
1. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC = 12 \) см и боковыми сторонами \( AB = BC = 10 \) см высота \( BK \), опущенная на основание \( AC \), делит его пополам, значит \( AK = KC = \frac{12}{2} = 6 \) см.
2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ABK \) вычисляем высоту \( BK \): \( BK = \sqrt{10^{2} — 6^{2}} = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8 \) см.
3. Плоскость \( \alpha \) проходит через основание \( AC \), а угол между плоскостями \( \alpha \) и \( ABC \) равен \( 45^\circ \).
4. Обозначим точку \( M \) как проекцию точки \( B \) на плоскость \( \alpha \). Тогда \( BM \) — искомое расстояние от точки \( B \) до плоскости \( \alpha \).
5. Рассмотрим треугольник \( BKM \), где \( BK \) — высота треугольника \( ABC \), а \( BM \) — перпендикуляр от точки \( B \) к плоскости \( \alpha \).
6. Угол между плоскостями равен \( 45^\circ \), значит угол между \( BM \) и \( BK \) тоже равен \( 45^\circ \).
7. Треугольник \( BKM \) является прямоугольным и равнобедренным с углами \( 45^\circ \), поэтому \( BM = KM = x \).
8. По теореме Пифагора: \( BK^{2} = BM^{2} + KM^{2} \), то есть \( 8^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2} \).
9. Отсюда \( 2x^{2} = 64 \), значит \( x^{2} = \frac{64}{2} = 32 \), и \( x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.
10. Искомое расстояние от точки \( B \) до плоскости \( \alpha \) равно \( BM = 4\sqrt{2} \) см.
