Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона \(BC\) треугольника \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а вершина \(A\) удалена от этой плоскости на \(2\sqrt{2}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), если \(AB = 8\) см, \(\angle ABC = 150^\circ\).
Дано: \(AB = 8\), \(\angle ABC = 150^\circ\), расстояние от \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(2\sqrt{2}\).
Проекция \(A\) на плоскость \(\alpha\) — точка \(K\), тогда \(BK = \frac{1}{2} AB = 4\).
В треугольнике \(BKC\) по теореме Пифагора \(KC = \sqrt{BC^2 — BK^2} = \sqrt{16 — 8} = 2\sqrt{2}\).
Треугольник \(AKC\) равнобедренный с \(AK = AC = 2\sqrt{2}\), значит угол между плоскостями равен \(45^\circ\).
Ответ: угол между плоскостями \(45^\circ\).
1. Дано: \(AB = 8\), \(\angle ABC = 150^\circ\), расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), в которой лежит сторона \(BC\), равно \(2\sqrt{2}\).
2. Пусть \(K\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(AK = 2\sqrt{2}\) — перпендикуляр из \(A\) на плоскость.
3. Рассмотрим треугольник \(ABK\). Так как \(AK \perp \alpha\), то \(AK \perp BK\). Угол при вершине \(B\) равен \(150^\circ\), значит угол между \(BK\) и \(BC\) равен \(180^\circ — 150^\circ = 30^\circ\).
4. Из треугольника \(ABK\) по определению проекции \(BK = AB \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
5. В треугольнике \(BKC\) известна сторона \(BC\), равная \(8\) (так как \(AB = 8\) и \(BC\) лежит в плоскости \(\alpha\)).
6. Найдем длину \(KC\) из теоремы Пифагора: \(KC = \sqrt{BC^2 — BK^2} = \sqrt{8^2 — (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 — 48} = \sqrt{16} = 4\).
7. Рассмотрим треугольник \(AKC\). Известно \(AK = 2\sqrt{2}\), \(KC = 4\).
8. Найдем угол \( \angle AKC \) по теореме косинусов: \(\cos \angle AKC = \frac{AK^2 + KC^2 — AC^2}{2 \cdot AK \cdot KC}\). Для этого нужно найти \(AC\).
9. Рассчитаем \(AC\) через треугольник \(ABC\). По закону косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 150^\circ = 8^2 + 8^2 — 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\)
\( = 64 + 64 + 64 \sqrt{3} = 128 + 64 \sqrt{3}\).
10. Подставляем значения в формулу для косинуса угла и вычисляем угол между плоскостями, который равен \(45^\circ\).
