ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона \(AD\) ромба \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), а расстояние между прямой \(BC\) и этой плоскостью равно \(7\sqrt{3}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), если сторона ромба равна 28 см, а \(\angle BAD = 30^\circ\).

В ромбе \(ABCD\) сторона \(AB = 28\) см, угол \(\angle BAD = 30^\circ\).

Половина стороны \(BC\) равна \(14\) см, так как \(BC = AB = 28\) см.

Расстояние от прямой \(BC\) до плоскости \(\alpha\) равно \(7\sqrt{3}\) см.

Угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) вычисляется по формуле \(\sin \theta = \frac{\text{расстояние}}{\text{половина } BC} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда \(\theta = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

1. В ромбе \(ABCD\) все стороны равны, значит \(AB = BC = CD = DA = 28\) см.

2. Угол \(\angle BAD = 30^\circ\), сторона \(AD\) лежит в плоскости \(\alpha\).

3. Плоскость \(\alpha\) содержит сторону \(AD\), значит угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \(ABC\) зависит от угла между прямой \(BC\) и плоскостью \(\alpha\).

4. Расстояние между прямой \(BC\) и плоскостью \(\alpha\) равно \(7\sqrt{3}\) см. Это расстояние — длина перпендикуляра от точки на \(BC\) до плоскости \(\alpha\).

5. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как ромб равнобедренный с углом при вершине \(A\) равным \(30^\circ\), то угол при вершине \(B\) равен \(150^\circ\).

6. Поскольку \(BC = 28\) см, половина \(BC\) равна \(14\) см.

7. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен углу между прямой \(BC\) и её проекцией на плоскость \(\alpha\).

8. По определению синуса угла между плоскостями:

\(\sin \theta = \frac{\text{расстояние между } BC \text{ и } \alpha}{\text{половина } BC} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

9. Следовательно, угол \(\theta = 60^\circ\).

10. Ответ: \(60^\circ\).