Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Равнобедренные треугольники \(ABC\) и \(ABD\), имеющие общее основание \(AB\), лежат в гранях двугранного угла с ребром \(AB\), величина которого равна \(60^\circ\). Найдите расстояние между точками \(C\) и \(D\), если \(AD = 10\) см, \(AB = 16\) см, \(\angle ACB = 90^\circ\).
Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB=16\) см, угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), значит медиана \(CM = \frac{1}{2} AB = 8\) см.
В треугольнике \(ABD\) равнобедренном с основанием \(AB=16\) см и боковой стороной \(AD=10\) см, медиана \(DM = \sqrt{AD^2 — AM^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = 6\) см.
Расстояние между точками \(C\) и \(D\), лежащими в плоскостях с двугранным углом \(60^\circ\), находится по формуле \(CD^2 = CM^2 + DM^2 — 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos 60^\circ\).
Подставляем значения: \(CD^2 = 8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 36 — 48 = 52\).
Ответ: \(CD = 2 \cdot \sqrt{13}\) см.
1. Даны два равнобедренных треугольника \(ABC\) и \(ABD\) с общим основанием \(AB = 16\) см. Известно, что угол при вершине \(C\) в треугольнике \(ABC\) равен \(90^\circ\).
2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), медиана \(CM\), проведённая из вершины \(C\) на основание \(AB\), является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \(CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см.
3. Рассмотрим треугольник \(ABD\), который также равнобедренный с основанием \(AB = 16\) см и боковой стороной \(AD = 10\) см.
4. Обозначим \(M\) — середину отрезка \(AB\), тогда \(AM = MB = 8\) см.
5. В треугольнике \(ADM\) по теореме Пифагора найдём длину медианы \(DM\):
\(DM = \sqrt{AD^2 — AM^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6\) см.
6. Точки \(C\) и \(D\) лежат в разных плоскостях, образующих двугранный угол \(60^\circ\) с ребром \(AB\).
7. Расстояние между точками \(C\) и \(D\) можно найти по формуле для расстояния между точками в пространстве с учётом угла между плоскостями:
\(CD^2 = CM^2 + DM^2 — 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos 60^\circ\).
8. Подставим известные значения:
\(CD^2 = 8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 36 — 48 = 52\).
9. Найдём длину отрезка \(CD\):
\(CD = \sqrt{52} = 2 \cdot \sqrt{13}\) см.
10. Ответ: \(CD = 2 \cdot \sqrt{13}\) см.
