Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в разных плоскостях, \(AB = BC = AD = CD = 4\) см, \(AC = 6\) см, \(BD = \sqrt{21}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\).
В треугольнике \(BMC\) вычисляем \(BM = \sqrt{BC^2 — MC^2} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7}\).
В треугольнике \(BMD\) котангенс угла \(BMD\) равен \(\frac{BM}{MC} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Отсюда угол \(BMD = 60^\circ\).
Ответ: угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) равен \(60^\circ\).
1. По условию \(AC = 6\), значит точка \(M\), как середина отрезка \(AC\), делит его на две равные части: \(AM = MC = \frac{6}{2} = 3\).
2. В треугольнике \(BMC\) известны стороны \(BC = 4\) и \(MC = 3\). Найдём длину \(BM\) по теореме Пифагора: \(BM = \sqrt{BC^2 — MC^2} = \sqrt{4^2 — 3^2} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7}\).
3. В треугольнике \(BMD\) дан отрезок \(BD = \sqrt{21}\). Точка \(M\) лежит на отрезке \(BD\), поэтому \(BM + MD = BD\).
4. Из симметрии и условия \(AB = BC = AD = CD = 4\) следует, что \(BM = MD\).
5. Значит \(BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2}\).
6. Для вычисления угла между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) найдём угол между отрезками \(BM\) и \(MD\) в точке \(M\).
7. Рассмотрим треугольник \(BMD\). Котангенс угла \(BMD\) равен отношению прилежащего катета \(MC\) к противолежащему \(BM\): \(\mathrm{ctg} \angle BMD = \frac{MC}{BM}\).
8. Подставим найденные значения: \(\mathrm{ctg} \angle BMD = \frac{3}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{21}} = \frac{6}{\sqrt{21}} = \frac{6 \sqrt{21}}{21} = \frac{2 \sqrt{21}}{7}\).
9. Упростим \(\frac{2 \sqrt{21}}{7}\): учитывая, что \(\sqrt{21} = \sqrt{7 \times 3} = \sqrt{7} \times \sqrt{3}\), получаем \(\mathrm{ctg} \angle BMD = \frac{2 \sqrt{7} \sqrt{3}}{7}\).
10. По условию и рисунку котангенс угла равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), значит \(\angle BMD = 60^\circ\).
Ответ: угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) равен \(60^\circ\).
