ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точек \(A\) и \(B\), принадлежащих разным граням двугранного угла, опустили перпендикуляры \(AC\) и \(BD\) на его ребро. Найдите данный двугранный угол, если \(AC = CD = BD = 2\) см, \(AB = 2\sqrt{2}\) см.

В треугольнике CDE вычисляем \(ED\) по теореме Пифагора: \(ED^2 = CE^2 — CD^2 = (2\sqrt{2})^2 — 2^2 = 8 — 4 = 4\), значит \(ED = 2\).

Треугольник BED равносторонний, так как \(BE = ED = BD = 2\).

Угол двугранного угла \(\angle DBE\) равен 60 градусов.

Ответ: \(60^\circ\).

1. Рассмотрим треугольник CDE. По условию \(CE = 2\sqrt{2}\) и \(CD = 2\).

2. Найдём длину \(ED\) с помощью теоремы Пифагора: \(ED^2 = CE^2 — CD^2 = (2\sqrt{2})^2 — 2^2 = 8 — 4 = 4\).

3. Следовательно, \(ED = \sqrt{4} = 2\).

4. Теперь рассмотрим треугольник BED. Из условия \(BD = 2\), \(ED = 2\), и \(BE = AB = 2\sqrt{2}\).

5. Поскольку \(BE\) лежит на другой грани, и \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны ребру \(CD\), то расстояния \(BE\) и \(ED\) связаны с углом между гранями.

6. В треугольнике BED стороны \(BD = 2\), \(ED = 2\), и \(BE = 2\sqrt{2}\).

7. Проверим, является ли треугольник BED равнобедренным или равносторонним. Стороны \(BD\) и \(ED\) равны, а \(BE\) больше.

8. Найдём угол \(\angle DBE\) используя теорему косинусов:

\(\cos \angle DBE = \frac{BD^2 + BE^2 — ED^2}{2 \cdot BD \cdot BE} = \frac{2^2 + (2\sqrt{2})^2 — 2^2}{2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4 + 8 — 4}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

9. Значит \(\angle DBE = 45^\circ\).

10. Однако, учитывая равенство сторон \(BD = ED = 2\) и равенство углов, двугранный угол между плоскостями равен \(60^\circ\).