Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Концы отрезка \(CD\) принадлежат разным граням двугранного угла, равного \(30^\circ\). Из точек \(C\) и \(D\) опустили перпендикуляры \(CE\) и \(DF\) на ребро двугранного угла. Найдите отрезок \(CE\), если \(CD = 5\) см, \(DF = 4\sqrt{3}\) см, \(EF = 2\) см.
В треугольнике \(CKD\) по теореме Пифагора \(KD^2 = CD^2 — CK^2\), значит \(KD = \sqrt{25 — 4} = \sqrt{21}\).
В треугольнике \(KFD\) по теореме косинусов: \(KD^2 = KF^2 + FD^2 — 2 \cdot KF \cdot FD \cdot \cos 30^\circ\).
Подставляем: \(21 = x^2 + 48 — 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), что даёт уравнение \(x^2 — 12x + 27 = 0\).
Дискриминант \(D = 144 — 108 = 36\), корни \(x_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9\), \(x_2 = \frac{12 — 6}{2} = 3\).
Отрезок \(CE\) равен \(3\) см.
1. В треугольнике \(CKD\) по теореме Пифагора вычисляем \(KD\): \(KD^2 = CD^2 — CK^2\). Из условия \(CD = 5\) см, \(CK = 2\) см, следовательно, \(KD = \sqrt{5^2 — 2^2} = \sqrt{25 — 4} = \sqrt{21}\).
2. Рассмотрим треугольник \(KFD\). По теореме косинусов для угла \(30^\circ\) между ребрами имеем: \(KD^2 = KF^2 + FD^2 — 2 \cdot KF \cdot FD \cdot \cos 30^\circ\).
3. Подставим известные значения: \(KD^2 = 21\), \(FD = 4\sqrt{3}\), обозначим \(KF = x\). Тогда уравнение примет вид: \(21 = x^2 + (4\sqrt{3})^2 — 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\).
4. Вычислим квадрат \(FD\): \((4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48\).
5. Косинус угла \(30^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому выражение становится: \(21 = x^2 + 48 — 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
6. Упростим множители: \(2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12\), следовательно, уравнение: \(21 = x^2 + 48 — 12x\).
7. Переносим все в одну сторону: \(x^2 — 12x + 48 — 21 = 0\), то есть \(x^2 — 12x + 27 = 0\).
8. Находим дискриминант: \(D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 — 108 = 36\).
9. Корни уравнения: \(x_1 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9\), \(x_2 = \frac{12 — \sqrt{36}}{2} = \frac{12 — 6}{2} = 3\).
10. Выбираем меньший корень, соответствующий длине отрезка \(CE\), поэтому \(CE = 3\) см.
