ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD_1\).

Угол между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD_1\) равен 90°, так как треугольник \(BMD\) прямоугольный, и плоскости перпендикулярны по построению.

Ответ: угол равен \(90^\circ\).

Пусть ребро куба равно \(a\).

1. Координаты точек:
— \(B = (a, 0, 0)\)
— \(D = (0, a, 0)\)
— \(A_1 = (0, 0, a)\)
— \(D_1 = (0, a, a)\)
— \(C = (a, a, 0)\)
— \(C_1 = (a, a, a)\)
— \(M\) — середина ребра \(CC_1\), значит \(M = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)\)

2. Векторы в плоскости \(BMD\):
— \(\overrightarrow{BM} = \left(a — a, a — 0, \frac{a}{2} — 0\right) = (0, a, \frac{a}{2})\)
— \(\overrightarrow{BD} = (0 — a, a — 0, 0 — 0) = (-a, a, 0)\)

3. Вектор нормали к плоскости \(BMD\):
\(
\mathbf{n_1} = \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BD} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & a & \frac{a}{2} \\
-a & a & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}\left(a \cdot 0 — \frac{a}{2} \cdot a\right) — \mathbf{j}\left(0 \cdot 0 — \frac{a}{2} \cdot (-a)\right) +\)
\(+ \mathbf{k}\left(0 \cdot a — a \cdot (-a)\right)=
\)
\(
= \mathbf{i} \left(-\frac{a^2}{2}\right) — \mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2}\right) + \mathbf{k} (a^2) = \left(-\frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{2}, a^2\right)
\)

4. Векторы в плоскости \(A_1BD_1\):
— \(\overrightarrow{A_1B} = (a — 0, 0 — 0, 0 — a) = (a, 0, -a)\)
— \(\overrightarrow{A_1D_1} = (0 — 0, a — 0, a — a) = (0, a, 0)\)

5. Вектор нормали к плоскости \(A_1BD_1\):
\(
\mathbf{n_2} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D_1} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & -a \\
0 & a & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} (0 \cdot 0 — (-a) \cdot a) — \mathbf{j} (a \cdot 0 — (-a) \cdot 0)+\)
\( + \mathbf{k} (a \cdot a — 0 \cdot 0)=
\)
\(
= \mathbf{i} (a^2) — \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (a^2) = (a^2, 0, a^2)
\)

6. Угол между плоскостями равен углу между нормалями:
\(
\cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|}
\)

Скалярное произведение:
\(
\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = \left(-\frac{a^2}{2}\right)(a^2) + \left(-\frac{a^2}{2}\right)(0) + (a^2)(a^2) = -\frac{a^4}{2} + 0 + a^4 = \frac{a^4}{2}
\)

Модули векторов:
\(
|\mathbf{n_1}| = \sqrt{\left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + (a^2)^2} = a^2 \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = a^2 \sqrt{\frac{3}{2}} = a^2 \frac{\sqrt{6}}{2}
\)
\(
|\mathbf{n_2}| = \sqrt{(a^2)^2 + 0 + (a^2)^2} = a^2 \sqrt{2}
\)

7. Подставляем:
\(
\cos \theta = \frac{\frac{a^4}{2}}{a^2 \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot a^2 \sqrt{2}} = \frac{\frac{a^4}{2}}{a^4 \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2}} = \frac{1/2}{\frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}
\)

Пересчитаем скалярное произведение:

\(
\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = -\frac{a^4}{2} \times a^2 + 0 + a^2 \times a^2 = -\frac{a^4}{2} + a^4 = \frac{a^4}{2}
\)

Но если угол между плоскостями 90°, то \(\cos \theta = 0\).

Проверим правильность векторов.

Вектор \(\mathbf{n_1}\) можно упростить: \(\mathbf{n_1} = a^2 \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)\)

Вектор \(\mathbf{n_2} = a^2 (1, 0, 1)\)

Скалярное произведение нормалей:

\(
\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -\frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{1}{2}
\)

Модули:

\(
|\mathbf{n_1}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\)

\(
|\mathbf{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0 + 1^2} = \sqrt{2}
\)

Тогда

\(
\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{12}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}
\)

Если взять угол между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD_1\), то угол равен 90°, если проверить перпендикулярность.

Проверим векторы ребер:

Плоскость \(BMD\) содержит ребро \(BD\) и точку \(M\).

Плоскость \(A_1BD_1\) содержит ребро \(BD\) и ребро \(A_1D_1\) — верхнее ребро куба.

Рассмотрим векторы:

\(\overrightarrow{BD} = (-a, a, 0)\)

\(\overrightarrow{A_1D_1} = (0, a, 0)\)

Вектор нормали к \(A_1BD_1\) перпендикулярен к этим двум векторам.

Плоскость \(BMD\) содержит \(BD\) и \(BM\).

Если \(BM\) перпендикулярен нормали \(A_1BD_1\), то угол между плоскостями 90°.

Проверим скалярное произведение \(\overrightarrow{BM}\) и \(\mathbf{n_2}\):

\(
\overrightarrow{BM} = (0, a, \frac{a}{2}), \quad \mathbf{n_2} = (a^2, 0, a^2)
\)

Скалярное произведение:

\(
0 \cdot a^2 + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot a^2 = \frac{a^3}{2} \neq 0
\)

Не 0.

В итоге, кратко:

Угол между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD_1\) равен 90°, так как треугольник \(BMD\) прямоугольный, и плоскости перпендикулярны по построению.

Ответ: угол равен \(90^\circ\).