Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата \(ABCD\), точка \(O\) — центр данного квадрата, \(MO = AC\). Точка \(K\) — середина отрезка \(MC\). Найдите тангенс угла между плоскостями \(BMD\) и \(BKD\).
Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата \(ABCD\), \(O\) — центр квадрата, \(MO = AC\), \(K\) — середина отрезка \(MC\).
Нужно найти тангенс угла между плоскостями \(BMD\) и \(BKD\).
Так как \(MO = 1\), \(OK = \frac{1}{2}\), то
тангенс угла между плоскостями равен тангенсу угла \(\angle MOK\):
\(\tan \angle MOK = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(\tan \angle (BMD, BKD) = \frac{1}{2}\).
1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\) с центром \(O\). Пусть длина стороны квадрата равна \(a\). Тогда диагональ \(AC\) равна \(a\sqrt{2}\).
2. Точка \(M\) равноудалена от всех вершин квадрата, значит она лежит на оси, проходящей через центр \(O\) и перпендикулярной плоскости квадрата. Пусть \(MO = AC = a\sqrt{2}\).
3. Координаты точек в системе, где \(O\) — начало координат, а квадрат лежит в плоскости \(xy\):
\(A = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\),
\(B = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\),
\(C = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)\),
\(D = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)\),
\(M = \left(0, 0, a\sqrt{2}\right)\).
4. Точка \(K\) — середина отрезка \(MC\), значит:
\(K = \left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \left(-\frac{a}{2}\right)}{2}, \frac{a\sqrt{2} + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\).
5. Рассмотрим векторы, лежащие в плоскостях:
В плоскости \(BMD\) — векторы \(\overrightarrow{MB}\) и \(\overrightarrow{MD}\),
в плоскости \(BKD\) — векторы \(\overrightarrow{KB}\) и \(\overrightarrow{KD}\).
6. Найдём векторные произведения для нормалей к плоскостям:
\(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MD}\),
\(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{KB} \times \overrightarrow{KD}\).
7. По условию, угол между плоскостями равен углу между нормалями, и он совпадает с углом \(\angle MOK\), где \(O\) — центр квадрата.
8. Из геометрии и данных \(MO = AC = a\sqrt{2}\), \(OK = \frac{1}{2} MO = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
9. Тангенс угла \(\angle MOK\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему, что даёт:
\(\tan \angle MOK = \frac{OK}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
10. Следовательно,
\(\tan \angle (BMD, BKD) = \frac{1}{2}\).
