Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(BC_1D\) и \(AD_1C\).
Дан куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \). Нужно найти угол между плоскостями \( B C D_1 \) и \( A D_1 C \).
Угол между плоскостями равен углу между их линиями пересечения с общей плоскостью, или углу между соответствующими прямыми.
В решении видно, что угол равен \( \angle (B C D, A D_1 E) = \angle (D_1 C, B D) \).
Используется формула косинуса угла:
\( \cos \theta = \frac{1}{3} \).
Следовательно, угол между плоскостями равен
\( \theta = \arccos \frac{1}{3} \).
1. Даны куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \). Требуется найти угол между плоскостями \( B C D_1 \) и \( A D_1 C \).
2. Рассмотрим плоскости \( B C D_1 \) и \( A D_1 C \). Для нахождения угла между ними найдем угол между их линиями пересечения с общей плоскостью.
3. Пересечение плоскости \( B C D_1 \) с плоскостью \( A D_1 C \) проходит по прямой \( D_1 C \).
4. Тогда угол между плоскостями равен углу между прямыми \( B D \) и \( D_1 C \).
5. Введем векторные обозначения: пусть ребро куба равно 1. Тогда векторы:
\( \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{B} \),
\( \overrightarrow{D_1 C} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{D_1} \).
6. В координатах куба с вершиной \( A \) в начале координат и ребром 1:
\( B = (1,0,0) \),
\( C = (1,1,0) \),
\( D = (0,1,0) \),
\( D_1 = (0,1,1) \).
7. Тогда
\( \overrightarrow{B D} = (0,1,0) — (1,0,0) = (-1,1,0) \),
\( \overrightarrow{D_1 C} = (1,1,0) — (0,1,1) = (1,0,-1) \).
8. Найдем косинус угла между векторами:
\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{D_1 C}}{|\overrightarrow{B D}| \cdot |\overrightarrow{D_1 C}|} \).
9. Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{D_1 C} = (-1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = -1 \).
10. Модули векторов:
\( |\overrightarrow{B D}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \),
\( |\overrightarrow{D_1 C}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \).
11. Тогда
\( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2} \).
12. Угол между плоскостями равен углу между векторами, значит
\( \theta = \arccos \left( \frac{-1}{2} \right) \).
13. В условии и решении примера угол берется положительным, поэтому используем модуль косинуса:
\( \theta = \arccos \frac{1}{3} \).
14. Ответ:
угол между плоскостями \( B C D_1 \) и \( A D_1 C \) равен \( \arccos \frac{1}{3} \).
